Matematické Fórum

bonb · 03. 01. 2009 23:13

Zdravím,nevím si rady s určením mezí u jednoho příkladu.Zadání je : $\int\int_{\Gamma}xydS$ kde $\Gamma$ je část roviny x+y+z=2 v 1.oktanu. Postupoval jsem tak,že jsem si spočítal průniky roviny přes osy,což vychází pro všechny tři osy 2. Hledanou částí roviny pak je rovnostranný trojúhelník o stranách $2\sqrt{2}$ .myslím,že až sem by to mělo být ok.Nyní však nevím,jak určit meze(resp. jak zjistit rovnice přímek tvořící strany trojůhelníka).Nevěděl by jste si s tím prosím někdo rady?

Pavel Brožek · 14. 11. 2009 18:55

Parametrizujeme si naší množinu $(x,y,z)=(t,u,2-t-u)$ . Je vidět, že body $(t,u)\in\mathbb{R}^2$ budou z trojúhelníku v rovině, který bude dán body $(0,0)$ , $(0,2)$ a $(2,0)$ ? Abychom integrovali přes celý tento trojúhelník, budeme s $t$ procházet interval $(0,2)$ a pro pevné $t$ budeme s $u$ procházet interval $(0,t)$ .

$\int\int_{\Gamma}xydS=\int_0^2\int_0^ttu\sqrt{\det G}\,\textrm{d}u\textrm{d}t=\int_0^2\int_0^ttu\sqrt{3}\,\textrm{d}u\textrm{d}t=\frac{\sqrt3}{2}$ ,

kde $G$ je Grammova matice.

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2009 23:13

plocha části roviny

#2 14. 11. 2009 18:55

Re: plocha části roviny

Zápatí