Matematické Fórum

petoju · 14. 11. 2009 20:10

Zdravím,

ako sa dajú, prosím, riešiť nasledujúce limity pomocou Bernoulliho nerovnosti?
Pokúšal som sa o riešenie tak, že som to "napasoval" do Bernoulliho nerovnosti $(1+c)^n\geq1+cn$ , čo mi ale čiastočne pomohlo len v prvom príklade. Pravdepodobne existuje aj nejaká jej varianta, ktorá by mi pomohla tieto limity riešit pomocou 2 strážnikov; k tej som sa pomocou Wikipedie nedostal. Väčšinu týchto limít som schopný vyriešiť inak, tým smerom mi nie je treba pomáhať.

$\lim_{n\rightarrow\infty}c^n$ pre $c\in\mathbb R$
(tu je riešenie jasné pre $c>1$ , pre menšie mám problém)

U nasledujúcich som sa ani nepohol:
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2^n}$
$\lim_{n\rightarrow\infty}nq^n$
$\lim_{n\rightarrow\infty}n^k z^n$ pre $k\in {\mathbb N }$ a $|{z}|<1$
$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n] {a}$ pre $a>0$ ,

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n] {n}$

Prosím, aspoň trochu ma "nakopnite", nie je treba to celé počítať.

Kondr · 14. 11. 2009 20:37

Všeobecná nápověda: Pokud umocňujeme q<1, položíme $q=\frac{1}{1+c}$

Nápověda pro druhý až čtvrtý:
$(1+c)^n=((1+c)^{n/t})^t\geq (1+cn/t)^t\geq 1+(cn/t)^t$
u prvních dvou volíme t=2, u třetího t=k+1.

U pátého odhadneme shora limitou $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n] {a+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n] {1+n\frac{a}{n}}$

U šestky by mohla fungovat kombinace podobného horního odhadu a nápovědy k prvním třem.

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2009 20:10

Bernoulliho nerovnost a limity

#2 14. 11. 2009 20:37

Re: Bernoulliho nerovnost a limity

Zápatí