Matematické Fórum

dpelsiek · 13. 11. 2009 21:04

Ahoj,
mám dánu funkci následujícím předpisem
f(0) = 1
f(n + 1) = 3 · f(n) + 26 · n + 3
pro všechna n > 0

a potřeboval bych ji vyjádřit pro f(n) v závislosti na f(0).
Zatím se mi to vůbec nedaří. Myslel sem že by to šlo takto:
3 * f(0) + 3^(n-1) * 26 * ((n)*(n-1)/2) + 3^(n-1) * 3
ale nešlo. Dělá mi problém to 3 * f(n)...
Nevíte někdo prosím, jak by takové vyjádření vypadalo, nebo jestli takové existuje?

kaja(z_hajovny) · 13. 11. 2009 22:33

kouknete se na linearni diferencni rovnice s konstantnimi koeficienty

reseni bude tvaru f(n)=C*(3)^n+a*n+b kde a a b jsou konstanty a C je taky konstanta, do ktere je zamontovano to f(0)

dpelsiek

děkuju za radu, ale nějak se v těch rovnicích na které jste mě odkázal nevyznám.
vybral jsem z mé rovnice jen tu část, kterou nejsem schopen zapsat ...

(3^n)*0 + (3^n-1)*1 + (3^n-2)*2 + ... + (3^0)*n

existuje na tento součet nějaký vzorec?

kaja(z_hajovny) · 14. 11. 2009 16:49

co to je za soucet? odkud se vzal?

dpelsiek · 14. 11. 2009 18:48

myslím že ta funkce by vypadala takhle:

f(n+1) = 3^n * f(0) + 26 * ((3^n)*0 + (3^n-1)*1 + (3^n-2)*2 + ... + (3^0)*n) + 3^((1+n)*(n)/2)

například při f(1) se 26*n přičte přičte jednou -> 26 * (3^0)*1
při f(2) se to původní (jednou přičtené) vynásobí třemi, a přičte se 26*2 -> 26 * (3^1)*1 + 26 * (3^0)*2
při f(3) se to předešlé dvě vynásobí třemi, a přičte se 26*3 -> 26 * (3^2)*1 + 26 * (3^1)*2 + 26 * (3^0)*3
...

kaja(z_hajovny) · 14. 11. 2009 21:50

jeste se pricita i trojka.

vazne bych kouknul na ty diferencni rovnice, treba nejaka skripta pro ekonomy? nebo pro MZLU "diferencialni a diferencni rovnice"? tam by to mohlo byt podane a vysvetlene nejak jednodusse :)

dpelsiek · 17. 11. 2009 14:06

tak už to mám a výsledek je $3^(^n^+^2^)-13n-8$
děkuju za rady

Marian · 17. 11. 2009 14:29

↑ dpelsiek:

V přechozí diskuze kolegů/kolegyň mi chybí důležité pozorování, ke kterému se chci vyjádřit.

Obecně je funkce dána jistým typem předpisu (rekurze, explicitně, tabulkou, etc.) a samozřejmě i specifikací vstupních dat, tj. definičním oborem. Bohužel víme pouze, že $n>0$ , ovšem to by znamenalo, že $D_f=\{ n\in\mathbb{R};\, n>0\}=\mathbb{R}^+$ . Proto je jasné, že z rekurze explicitně nedostaneme předpis pro "funkci" $f:\quad\mathbb{R}^+\mapsto\mathbb{R}$ . Jinak řečeno, zadání je dáno nejen nepřesně, ale i nesmyslně, pokud není uvedena další restrikce nebo podmínka. Chybí totiž poznámka o tom, že $n\in\mathbb{N}$ .

To se mohlo zdát zřejmé, ale co není dáno a nedá se odvodit, je pro mě nejčernější tmou. Nechápu tedy, proč není jedoduše a především jednoznačně dáno $n\in\mathbb{N}$ místo matoucího a nesmyslného $n>0$ . To ovšem nemusí už být vinou tazatele, ale třeba autorem úlohy.