Matematické Fórum

plisna · 02. 11. 2008 17:48

zdravim vsechny ucastniky fora! obracim se na vas s prosbou o pomoc s resenim nasledujiciho problemu.

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0,\nlu(1, \theta, \phi) = 3 \cos(2 \theta) + 1,\nlx^2+y^2+z^2\quad<\quad 1,$ podminka je ve sferickych souradnicich.

jedna se o reseni laplaceovy rovnice na kouli s dirichletovou okrajovou podminkou, pro kterou lze pouzit poissonuv vzorec $u(x)=\frac{1-|x|^2}{4\pi} \int_{\partial B(0,1)} \frac{g(y)}{|x-y|^3} \mathrm{d}S_y$ .

po zavedeni sferickych souradnic dostanu integral $u(\rho, \theta,\phi) = \frac{1-\rho^2}{4\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{-\sin \xi (3 \cos (2\theta)+1)}{\left( \rho^2+1-2\rho(\sin \theta \sin \xi \cos(\phi - \eta) + \cos \theta \cos \xi)\right)^{3/2}}\mathrm{d}\eta\mathrm{d}\xi$ , ktery neni zrovna jednoduche vyresit.

predpokladam, ze bude existovat i jednodussi cesta, jak se dostat k vysledku, ale nejak me nic nenapada. treba prave nekoho z vas neco napadne, takze dopredu dekuji za rady.

Pavel Brožek · 15. 11. 2009 18:21

$3\cos(2\theta)+1=3(2\cos^2\theta-1)+1=6\cos^2\theta-2$

Okrajovou podmínku -2 řeší $u_1=-2$ . Okrajovou podmínku $\cos^2\theta$ řeší $u_2=\frac{1}{3}(1+2z^2-x^2-y^2)$ . Z linearity máme řešení

$u=u_1+6u_2=-2+2(1+2z^2-x^2-y^2)=2(2z^2-x^2-y^2)$ .

Podrobněji viz http://utf.mff.cuni.cz/~ledvinka/PrElek … t-v0.8.pdf, strana 29.

Matematické Fórum

#1 02. 11. 2008 17:48

laplaceova rovnice s dirichletovou OP

#2 15. 11. 2009 18:21

Re: laplaceova rovnice s dirichletovou OP

Zápatí