Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 15. 11. 2009 23:53
Matematický důkaz
Je dána funkce f(n) z přirozených do celých čísel tímto rekurentním předpisem:
f(0) = −14
f(n + 1) = 4 · f(n) + 18 · n + 54 pro všechna n >= 0
Vašim úkolem je dokázat následující matematickou větu (o naší dané f).
Existuje přirozené n0 takové, že pro všechna n >= n0 platí:
f(n) <= 6 · 4^n − 2009 .
Vůbec nevím kde začít a jakým způsobem to dokázat dokážu zjistit n kde to začne platit ale nevím jak to dokázat Díky
Offline
#2 16. 11. 2009 00:27
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4247
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: Matematický důkaz
S trochu jinými čísly řešeno zde: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=77332
Ve tvém případě bude hypotéza
f(n)=6*4^n-6n-20
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline
#4 17. 11. 2009 13:07 — Editoval Incognito (17. 11. 2009 15:31)
Re: Matematický důkaz
↑ Kondr: Nez zakladat nove tema nebo se ptat konkretne na priklad tak se radsi zeptam takhle. Od ceho si prosim te vyvodil tu hypotezu ? Konkretne mi jde o to ... -6n-20 . Absolutne nevim kde se to tam vzalo :)
EDIT:no po delsim bloudeni na foru a v materialech sem dosel k zaveru ...
_Zadani_
f(0)= -2
f(n+1)= 3*f(n)+10*n+11 pro všechna n>=0
f(n)<= 6*3^n -2009
... z cehoz mi vyplynulo tvrzeni: f(n) = f(n) = 2*3^(n+1) -5*n -8 ... jenze to stejne jak kolegovi podemnou nevychazi v dalsich krocich.
EDIT PODRUHE: Uz dobry z niceho nic to vychazi :) diky i tak :)
Offline
#5 17. 11. 2009 13:48
Re: Matematický důkaz
↑ Kondr:
Zdarec, mam priklad f(0) = 0
f(n+1) = 3*f(n) +30n +1
f(n) <= 8 * 3^n - 2009
dival sem se na to zesileni a vysla me hypoteza 8 * 3^n - 15n - 17, ale to je urcite spatne, protoze potom mi nevychazi hned bazovy krok... nevis kde sem udelal chybu?
Offline
#7 17. 11. 2009 17:45 — Editoval tmoe (17. 11. 2009 18:27)
Re: Matematický důkaz
↑ Kondr:ano, to je mi jasne, jenze nevim jak tu osmicku vydolovat resp. nechapu krok se silnejsim tvrzenim, jak si tam davam to Acko...
A jeste se chcu zeptat, jestli mam spravne ten zbytek, tj, indukcni krok:
predpokladam ze f(k) =8*3^k - 15k - 8 a chci dokazat f(k+1) = 8*3^(k+1) - 15(k+1) - 8
dosadim do f(k+1) = 3*(8*3^k - 15k - 8) +30k +1 = 8 * 3^(k+1) - 45k -24 +30k +1 = 8*3^(k+1) - 15k - 23 = 8*3^(k+1) - 15(k+1) - 8
asi mi to vyslo ale nejak se me to nezda...(??)
Offline