Matematické Fórum

dpelsiek · 16. 11. 2009 23:29

Dobrý den, mám problém se zapsáním vzorce pro mě složité sumace:

$\sum_{i=0}^{n} (n-i) * 3^i$

prý to jde udělat složením některých vzorců z wikipedie , jen já nevím kterými.
kdyby tam nebylo (n-i) ale jen i, tak je mi to jasné, takhle se mi ale nedaří na to přijít. Prosím o radu jak na to, nebo aspoň jestli je nějaký vzorec, co to rozdělí na dvě sumy.

Kondr · 16. 11. 2009 23:41

Možno upravit takto:
$\sum_{i=0}^{n} (n-i) 3^i=\sum_{i=0}^{n} n 3^i -\sum_{i=0}^{n} i 3^i=n\sum_{i=0}^{n}3^i -\sum_{i=0}^{n} i 3^i$
Další možnost je
$\sum_{i=0}^{n} (n-i) 3^i = \sum_{i=0}^{n} i 3^{n-i} =3^n\sum_{i=0}^{n} i (1/3)^{i}$

Oxyd · 16. 11. 2009 23:42

$\sum_{i=0}^n \left( n - i \right) \cdot 3^i = \sum_{i=0}^n \left( n \cdot 3^i - i \cdot 3^i \right) = \sum_{i=0}^n \left( n \cdot 3^i + \left(-i \cdot 3^i \right) \right)$ , ne? To máme součet součtů -- něco jako

$n \cdot 3^0 + \left( -0 \cdot 3^0 \right) + n \cdot 3^1 + \left( -1 \cdot 3^1 \right) + n \cdot 3^2 + \left( -2 \cdot 3^2 \right) + \ldots + n \cdot 3^n + \left( -n \cdot 3^n \right)$

Když máme takovýhle součet, tak ho můžeme libovolně přeházet -- platí totiž, že a + b + c + d = a + c + b + d. Tedy v našem případě z toho můžeme udělat tohle:

$n \cdot 3^0 + n \cdot 3^1 + n \cdot 3^2 + \ldots + n \cdot 3^n + \left( -0 \cdot 3^0 \right) + \left( -1 \cdot 3^1 \right) + \left( -2 \cdot 3^2 \right) + \ldots + \left( -n \cdot 3^n \right)$

Teď to zase můžeme přepsat tím sumačním zápisem, chceme-li, a aplikovat na to nějaké další fígle (třeba vytýkání, či nějaké vzorce).

Stačí tak?

dpelsiek · 17. 11. 2009 03:06

děkuju moc oběma, to jsem přesně potřeboval

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2009 23:29

Sumace

#2 16. 11. 2009 23:41

Re: Sumace

#3 16. 11. 2009 23:42

Re: Sumace

#4 17. 11. 2009 03:06

Re: Sumace

Zápatí