Matematické Fórum

bojkot · 11. 05. 2009 22:23

$\{(a,b)\in\mathbb{R}^2|a+b=1\}$

jak mám poznat a dokázat že daná množina tvoří podprostor vektorového prostoru R2???
Kdyby tam nebylo to rovnáse,tak bych věděl jak na to ,ale takhle totálně tápu

tkoubsky · 11. 05. 2009 23:33

vektorový prostor R2 je množina všech dvojic reálných čísel se standartně definovanými operacemi sčítání vektorů (dvojic) a násobení vektoru číslem (číslem z tělesa, tedy reálným číslem). Tvůj předpis má být předpis podprostoru: takové dvojice čísel a,b (tzn. vektory z R2), pro které platí, že součet a+b=1. Abys dokázal, že jde o podprostor, musíš ověřit 1) neprázdnost (ok - taková dvojice (a,b) existuje), 2) uzavřenost na sčítání vektorů (ne - např. pro vektor (-1,2)+(1/2,1/2)=(-1/2,5/2) neplatí, že součet čísel je 1) 3) uzavřenost na násobení číslem (taky neplatí). Takže to není podprostor.

bojkot · 12. 05. 2009 13:08

↑ tkoubsky:
Díky takže jestli to dobře chápu...
tyhle množiny posprostory rozhodně netvoří...

a kdybych měl podobný příklad kde a=0 $\vee$ b $\in$ Z
tak to je podprostor protože 0+nějaké celé číslo je celé číslo
a nula * nějaké číslo je vždycky nula
Je to tak nebo je tam potřeba ještě něco???

problem · 17. 11. 2009 22:41

chci se zeptat, mám zadáno:

Určete, zda množina M tvoří vektorový podprostor v $\mathbf R^2$
$M=\{(x,y) \in R^2; x\cdot y\geq 0\}$

1) neprázdná zřejmě je
2) pro (1 ; 2) a (-2 ; -1) zřejmě neplatí (takže není uzavřená vůči sčítání)
=> není podprostorem $\mathbf R^2$

3) (uzavřenost vůči násobení skalárem) takže pokud $x\cdot y \geq 0$ , tak pro $a\in \mathbf R$ platí $(ax ; ay)$ kde $ax\cdot ay \geq 0$ . Tím by 3) platila, pokud by platila 2)

Jdu na to takhle správně? Hlavně mi jde o tu 2). Není mi jasný, jak ji obecně dokázat.

Díky za pomoc

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2009 22:23

Vek. podprostory

#2 11. 05. 2009 23:33

Re: Vek. podprostory

#3 12. 05. 2009 13:08

Re: Vek. podprostory

#4 17. 11. 2009 22:41

Re: Vek. podprostory

Zápatí