Matematické Fórum

leník 5 · 15. 11. 2009 17:50

Prosím, potřebuji vyřešit tento příklad: Sestavte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou rovny druhým mocninám kořenů rovnice 3x na druhou - 15x + 2, aniž tuto rovnici řešíte. Děkuji moc.

leník 5 · 15. 11. 2009 17:52

Ještě prosím o další: sestavte kvadratickou rovnici, která má kořeny převrácené hodnoty kořenů rovnice 6 x na druhou - 13 x + 6 = 0, aniž tuto rovnici řešíte. Děkuji.

halogan · 15. 11. 2009 18:33

Vietovy vzorce, znáš?

Mohl bych se zeptat, z jaké učebnice jsou tyto příklady? Držím v ruce knihu z roku 1924, kde jsou tytu úlohy hned za sebou.

leník 5 · 15. 11. 2009 19:45

Odpovídám na dotaz , je to Sbírka úloh pro střední školy od Janečka. Vietovy vzorce znám, ale stejně s tím nemůžu hnout.

leník 5 · 15. 11. 2009 19:47

ten Janeček je z roku 1995

halogan · 15. 11. 2009 20:24

$3x^2 - 15x + 2 = 3 \cdot (x^2 - 5x + \frac 23)$ .

Víme, že
$x_1 + x_2 = -p = 5$ ,
$x_1 \cdot x_2 = q = \frac 23$ .

My hledáme x_3 = x_1^2 a x_4 = x_2^2 (my je vlastně nehledáme, to po nás nechtějí) takové, aby platilo:
$x_1^2 + x_2^2 = -P \nl x_1^2 \cdot x_2^2 = Q$ , kde P a Q jsou nové kvocienty (místo p a q).

No a to už není tak těžké, ne?
$x_1^2 \cdot x_2^2 = (x_1 \cdot x_2) \cdot (x_1 \cdot x_2) = \frac 23 \cdot \frac 23 = Q$ . Q tedy máme.

$x_1^2 + x_2^2 = -P$ . Pomůžeme si následujícím:

$x_1 + x_2 = 5$ umocníme na druhou - $\boxed{x_1^2 + x_2^2} + 2 \cdot x_1 x_2 = 25$ . To v rámečku chceš, ten zbytek znáš.

Jasné, nebo ještě nějak mohu pomoci?

leník 5 · 17. 11. 2009 14:49

Díky za odpověď , ale nerozumím těm značkám. Je to x:3=x:1 na druhou atd ?

halogan · 17. 11. 2009 15:34

↑ leník 5:

Nevím přesně, na co se ptáš, ale nějak to zkusím.

1) $x_1^2 = (x_1)^2$

2) K tomu postupu: My máme funkci $Ax^2 + Bx + C$ , kterou si upravíme jako $A(x^2 + \frac BA x + \frac CA)$ a pro přehlednost si ty podíly nahradíme písmeny p a q (jak jste asi zvyklí) a nebudeme si na chvíli všímat toho koeficientu A ( $A \neq 0$ )... $x^2 + px + q$ . U této funkce z Vietových vztahů víme, že $x_1 + x_2 = -p$ a $x_1 \cdot x_2 = q$ (kde x1 a x2 jsou kořeny). My však chceme druhé mocniny těchto kořenů, abychom sestavili funkci $x^2 + Px + Q$ a sestavíme si rovnice pro Q a P, aby tam figurovaly ty druhé mocniny.

---

Řekni konkrétně, co ti je nejasné. Je možné, že to vysvětluji příliš složitě a že na to je nějaký obecný a rychlý způsob. Já počítám nějak podle sebe.

leník 5 · 17. 11. 2009 21:44

x_3 = x_1^2 a x_4 = x_2^2 můžeš mi po popsat slovně ?

halogan · 17. 11. 2009 22:54

↑ leník 5:

Zrovna jsi mě nachytala na takové nepřesné věci :-)

Jen popisuji, jak budou vypadat kořeny té nové funkce, budou to imaginární (budou tedy skutečné, ale počítat je nemáme) $x_3$ a $x_4$ , které budou v jednoduchém vztahu k původním kořenům (které také neznáme):

$x_3 = (x_1)^2, \nl x_4 = (x_2)^2.$

Ale pak se k tomu nevracím, byla to jen taková poznámka na okraj.

leník 5 · 18. 11. 2009 15:05

Díky za všechny rady.

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2009 17:50

vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice

#2 15. 11. 2009 17:52

Re: vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice

#3 15. 11. 2009 18:33

Re: vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice

#4 15. 11. 2009 19:45

Re: vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice

#5 15. 11. 2009 19:47

Re: vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice

#6 15. 11. 2009 20:24

Re: vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice

#7 17. 11. 2009 14:49

Re: vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice

#8 17. 11. 2009 15:34

Re: vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice

#9 17. 11. 2009 21:44

Re: vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice

#10 17. 11. 2009 22:54

Re: vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice

#11 18. 11. 2009 15:05

Re: vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice

Zápatí