Matematické Fórum

kitchima · 20. 11. 2009 16:19

Cawte. Tak zase som tu s inym prikladom.

Urcte pravdivostnú hodnotu každého z nasledujúcich výrokov. Ak je nepravdivý,
ukážte to kontrapríkladom. Univerzum sú celé císla.

a) $\forall x \exists y \exists z (x = 7y + 5z)$

b) $\forall x \exists y \exists z (x = 4y + 6z)$

Poprosila by som postup, ako sa to riesi. Dakujem

Wotton · 20. 11. 2009 16:27

za B je jasný, tak si za x stačí zvolit nejaký lichý číslo, a pokud e pamatuju, tak za A je to pravda, protoze pokud jsou ty dve konstanty nesoudělný, tak to platí. Je to nějaká věta, jen si nedokážu teď vzpomenout jaká:-(

Pavel · 20. 11. 2009 16:29 — Editoval Pavel (20. 11. 2009 16:29)

↑ kitchima:

oba výroky mají souvislost s řešitelností diofantické rovnice $ax+by=c$ , kde koeficienty a,b,c jsou celá čísla a neznámé x,y jsou taktéž celá čísla. Rovnice je řešitelná, když největší společný dělitel čísel a, b dělí číslo c.

$7y+5z=x$ je řešitelná, jestliže největší společný dělitel 7 a 5, což je 1, dělí x. To platí pro jakékoliv x. Výrok je tedy pravdivý.

$4y+6z=x$ je řešitelná, jestliže největší společný dělitel 4 a 6, což je 2, dělí x. To však není splněno, je-li x liché číslo. Proto uvedený výrok není pravdivý.

kitchima · 20. 11. 2009 16:35

↑ Pavel:
dakujem :)
aha a teda uz iba dopisat ten kontrapriklad pre b? teda nejake hodnoty x, ked nie je podmienka splnena?

kitchima · 20. 11. 2009 17:22

A mohol by mi prosim niekto toto skontrolovat este? Dakujem vopred

Uvažujme nasledujúcu výrokovú funkciu:
$p(x, y) : y-x = y + x^2$
kde univerzum každej premennej je množina celých císel.
Urcte pravdivostnú hodnotu každého z nasledujúcich výrokov:

a) $p(0,0)$ ----pravda
b) $p(1,1)$ ----nepravda
c) $p(0,1)$ -----pravda
d) $\forall y: p(0,y)$ ----pravda
e) $\exists y: p(1,y)$ -----nepravda
f) $\forall x \exists y: p(x,y)$ -----nepravda
g) $\exists y \forall x: p(x,y)$ ----nepravda
h) $\forall y \exists x: p(x,y)$ -----pravda