Matematické Fórum

Mr.ONE · 23. 11. 2009 22:41

Ahoj, potřeboval bych prosím poradit, jak jednoduše vyřešit soustavu rovnic:

x^2 + y^2 = 13
x . y = 6

Řeším to tak, že z druhé rovnice vyjádřím např. x=6/y , výsledek dosadím do první rovnice za x. Nevím, jak se pak mám po dosazení zbavit y^2 ve jmenovateli v první rovnici, respektive se dopočítám do tvaru y^4 - 13y^2 + 36 = 0 , dál jsem v koncích.
Díky, Jirka.

Doxxik · 23. 11. 2009 22:50

přepis:
$x^2 + y^2 = 13\nl \underline{x \cdot y = 6}$
ze druhé rovnice si vyjádříš (třeba) x: $x = \frac{6}{y}$ a dosadíš do první rovnice:
$$\frac6y $^2 + y^2 = 13\nl \frac{36}{y^2} + y^2 = 13$
zavedu substituci $a = y^2$ a vynásobím celou rovnici jmenovatelem prvního členu:
$36 + a^2 = 13a$ -> dořeším kvadratickou rovnici, vyjdou mi kořeny $a_1,a_2$ -> spočítám y ze vztahu $y = \sqrt{a}$ (viz výše) -> dopočítám $x$
(nezapomeň počítat pro všechny kořeny, které vyhovují podmínkám)

Jan Jícha

$xy=6$
$x^2+y^2=13$

$x=\frac 6y$

$(\frac 6y)^2+y^2-13=0$

$(\frac {36}{y^2})+y^2-13=0$

$36+y^4-13y^2=0$

$y^4-13y^2+36=0$

subtitice: $y^2=a$

$a^2-13a+36=0$

Vietuv vztah
$(a-9)(a-4)=0$
$a_1=9$
$a_2=4$

Dál zvládneš sám? Teď dosadíš do substituce, pak dopočítáš x - a nezapomeň na podmínky.

Edit: Kruci písek - jsem pomalej :-)