Matematické Fórum

Potřebovala bych poradit, už jsem to zkoušela několikrát, ale nemůžu se dobrat kýženého výsledku. Určete řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic:

-x1-2x2+x3+x4=-9
x1+x2            =0
-3x1+x2-x3-2x4=15
3x1             -x4 =-6

Omlouvám se, ale ta pravá čísilka u x mají být dole, ale nevím, jak to napsat.
Napište mi, prosím, řešení pomocí matice i s uvedením, čím jste násobili který řádek, který jste s kterým sečetli atd. Já už jsem z toho totiž vážně jelen. Díky moc.

↑ Tychi: Tak už radu nepotřebuji. Složitě jsem ti to tu celé vypisovala a znovu vše počítala a vyšlo mi to. Ale zabralo mi to fest času. Už se mi stalo několikrát, že když jsem začala nějaký problém s někým řešit, tak jsem na něj přitom sama přišla. Díky.

↑ Romajzl:Potíž je v tom, žes špatně určila hodnost.

A další potíž je v tom, že mažeš své příspěvky, přijdu si pak jak blázen, když odpovídám a dotaz zmizne.

↑ Romajzl:Výpočty vkládáme pomocí TeXu, mezi dva paragrafy se vloží třeba x^2 a je z toho . Nad okýnkem zprávy máš odkaz na stručný přehled syntaxe TeXu.

Co se týče té matice, tak ji musíš upravit, abys viděla, jestli náhodou nějaký řádek není lineární kombinací těch ostatních. Nejlépe ji tedy převést na trojúhelníkový tvar a pak už uvidíš, jestli nějaký řádek vypadne nebo ne.
Třeba u matice
111
111
111
bys ty řekla, že má hodnost 3 a přitom má hodnost 1, protože ji lze přepsat na
111
000
000

↑ Romajzl:A, teď už mi to asi docvaklo. Myslí tím, že se udělá to, co jsi udělal ty, pokud jsou řádky lineárně závislé, jakoby je vynulujeme a hodnost se rovná těm zbývajícím nevynulovaným řádkům. A já jsem ta skripta pochopila tak, že pokud mi vyjde matice a v ní je nějaký řádek plný nul, tak to je ten nulový. Ono je fakt paráda to s někým takhle probrat.

↑ Tychi:Tak teď už bych měla být plně v obraze. Ve skriptech je totiž příklad na určování hodnosti matice. Postupně ji převedli na horní trojúhelníkovou a pak je tam napsáno, že její hodnost je 4 a v závorce je uvedeno: počet nenulových řádků. A já jsem si z toho vydedukovala, že hodnost jakékoli matice tvoří počet nenulových řádků. A až ty jsi mě nakopnul - je to sice počet nenulových řádků, ale až té upravené trojúhelníkové matice, jak jsi mi ráčil napsat. A proto mi to tolikrát nesedělo. Že mi to ale trvalo to pochopit. A to jsou ještě daleko horší věci (myslím v matice).

↑ Tychi:Teď zase řeším už poněkolikáte soustavu lineárních rovnic a výsledek mi stále vychází špatně.   2x   -y -  z  = 4
                                                   3x +4y -2z  = 11
                                                   3x - 2y +4z = 1
                                                    x  -  y  -  z  = 1 A výsledek má vyjít x=3, y=1, z=1.

Takže matici  2  -1  -1  4
                    3   4  -2  11
                    3  -2   4   1
                    1  -1  -1   1   převedu na horní trojúhelníkovou matici:

1. 1.,3.a 4.řádek opíšu a druhý získám vynásobením třetího řádku (-1) a přičtením k
    druhému řádku.
2. 1.,2.a 4.řádek opíšu a třetí získám vynásobením čtvrtého řádku (-3) a jeho přičtením
    ke třetímu řádku.
3. První tři řádky opíšu a čtvrtý získám jeho vynásobením (-2) a přičtením k prvnímu
    řádku.
4. Opíšu 1.,2. a 4.řádek a třetí získám vynásobením čtvrtého a jeho přičtením ke třetímu.
5. Pak opíšu první tři řádky a čtvrtý získám jeho vynásobením (-6) a přičtením ke
    třetímu.
6. Potom opíšu 1.,2. a 3.řádek a čtvrtý získám vynásobením třetího řádku 2 a
    přičtením ke čtvrtému řádku. A pak dostanu horní trojúhelníkovou matici

    2  -1  -1  4
    0   6  -6  10
    0   0   6  0
    0   0   0  -2   A když to pak přepíšu do lineární rovnice, tak mi vyjde blbost.

↑ Romajzl:Nevyjde ti blbost, vyjde ti, že soustava řešení nemá. (Což je dost možné, vzhledem k tomu, že máš pro tři neznámé čtyři rovnice.)
Když dosadíš 3,1,1 to třetí rovnice, tak ti nevyjde, tahle rovnice je tam navíc..

Zkus vyřešit soustavu bez té třetí rovnice, tedy jen 1. 2. a 4.

↑ Romajzl:Znalecké oko to nebylo. Prostě jsem matici sestavila, upravila, zjistila, že nemá řešení a pak ověřila tvé kořeny dosazením, abych ti mohla říct, zda nemají řešení špatně. No a tam jsem na to přišla(o: