Matematické Fórum

leniczcha · 27. 01. 2008 19:14

robert.marik · 27. 01. 2008 19:27

fakt je geometricka rada priklad na vysokou skolu?

leniczcha · 27. 01. 2008 19:29

Jojo, jedná se o ZČU

xificurC

Teda zbrucha myslim, ze pre:

0<5q<1 bude rada konvergovat, kedze budes pripocitavat stale mensie a mensie cislo;

5q>1 bude divergovat

-1<5q<0 na grafe by jednotlive hodnoty skakali do plusu a minusu, ale obe hodnoty by sa neustale blizili k nule. Teraz len neviem, ci nieco take je konvergentne...

5q<-1 to bude tiez skakat, len obe casti sa budu blizit k nekonecnu...

Ak som nieco domylil, opravte ma ;)

leniczcha · 27. 01. 2008 19:36

↑ xificurC: bylo by možné trochu více rozepsat postup?

robert.marik · 27. 01. 2008 19:44

no dalo by se to určit třeba limitním podílovým kritériem.

podil a(n+1)/a(n) je 5q v tom kriteriu (asi bylo na prednaskach) se teda absolutni hodnota vyrazu 5q srovnava s jednickou a odsud plyne konvergence nebo divergence. A pripady q=1/5 a q=-1/5 reste zvlast.

xificurC · 27. 01. 2008 19:46

Scitavas cleny nekonecnej geometrickej postupnosti, pricom prvy je na nultu, dalsi na prvu atd atd. Teda pre kazde dalsie cislo je mocnina o jedno vyssia. Na to, aby sucet konvergoval a nie divergoval, potrebujes aby kazde nasledujuce cislo bolo mensie ako predosle. A to dosiahnes len vtedy, ked zaklad je mensi ako 1 a vacsi ako -1. Pre (0,1) to je teda (snad) jasne a spravne a pri (-1,0), ako som uz pisal, si nie som isty. Kazda parna mocnina je kladna a kazda neparna zaporna, preto neviem, ci nieco take moze byt konvergentne... No a ked je cislo vacsie ako 1, teda pre (1,oo) je kazdy dalsi clen postupnosti vacsi a vacsi, teda postupnost diverguje. Pri zapornych hodnotach zase pripad ako pri -1 az 0, polka dievrguje k nekonecnu a druha k -nekonecnu. Ak stale nechapes, skus si nakreslit graf pre napr. q=1/10 , q=-1/10 , q=2/5 a q=-2/5...

Marian · 28. 01. 2008 09:40 — Editoval Marian (28. 01. 2008 10:20)

Protoze nekonecne rady patri k memu oblibenemu tematu, nemohu si odpustit nekolik nejen formalnich pripominek k prispevku #7 od xificurC.

Pokud budu predpokladat, ze pracujeme s geometrickou posloupnosti tvaru $\{q^n\}_{n=0}^{\infty}$ , kde cislo q je libovolne realne, pak je namiste nekolik nasledujicich pripominek. Totiz neplati, ze aby nekonecny soucet clenu geometricke poslouposti vyse byl konvergnentni, potrebujeme, aby kazdy nasledujici scitanec diskutovane nekonecne rady byl mensi nez predchazejici. Staci vzit treba q=-1/2.Tam dana skutecnost neplati, presto vsak nekonecna rada

$\sum_{n=0}^{\infty}\left (-\frac{1}{2}\right )^n$

konverguje. Neco jineho by bylo, kdybychom hovorili o absolutni hodnote kazdeho sumandu. Ze suktecne uvedena rada konverguje neni tezke dokazat. Pan Marik zminuje, jak to lze provest (a je to jen jedna z moznosti). Takze pokud $q\in (-1,0)$ , pak rada $\textstyle\sum_{n=0}^{\infty}q^n$ konverguje. Pro hodnoty $q\in (1,\infty)\,\,\vee\,\, q\in (-\infty ,-1)$ se divergence ukazuje snadno. Snadne jsou take pripady q=1 a q=-1, kde geometricka rada diverguje (v klasickem Cauchyovskem smyslu).

Podobne skutecnosti, avsak obecnejsi, plati i pro komplexni hodnoty cisla q. Tam hraje prave podstatnou roli pojem absolutni hodnoty komplexniho cisla.

Na zaver techto poznamek bych se pak chtel zminit velkou roli prave nekonecne geometricke rady v mnoha matematickych i nematematickych teoriich. Nektere nekonecne rady, o kterych by vas treba ani nenapadlo, ze se daji secist pomoci nekterych aplikaci souctu geometricke rady, se prave opiraji o takovouto jednoduchou radu. Uvedu hezky netrivialni priklad:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}}{{2n \choose n}}\cdot\frac{9n^3+33n^2+17n-25}{8n^3+36n^2+46n+15}=\frac{4}{9}.$

Naopak ale eixstuji i takove nekonecne rady, jejichz soucet lze urcit bez jakychkoliv sumacnich formuli, i kdyz to tak vubec nevypada. Treba tato nekonecna rada je velice kuriozni, ale hezke cviceni

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+4+3^{1-n}}=\frac{1}{4}.$

xificurC · 28. 01. 2008 17:10

Marian: dakujem, aj pre mna poucne :)

Marian · 28. 01. 2008 17:34

Mozna by tema nekonecne rady a jejich divergence, konvergence a scitani v Cauchyovskem smyslu mohlo byt v jednom z Lukasovych clanku na tomto webu. Neni to jiste prvni ani posledni prispevek, ktery se tyka teto zajimave problematiky.

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2008 19:14

Konvergence a divergence řad

#2 27. 01. 2008 19:27

Re: Konvergence a divergence řad

#3 27. 01. 2008 19:29

Re: Konvergence a divergence řad

#4 27. 01. 2008 19:31 — Editoval xificurC (27. 01. 2008 19:31)

Re: Konvergence a divergence řad

#5 27. 01. 2008 19:36

Re: Konvergence a divergence řad

#6 27. 01. 2008 19:44

Re: Konvergence a divergence řad

#7 27. 01. 2008 19:46

Re: Konvergence a divergence řad

#8 28. 01. 2008 09:40 — Editoval Marian (28. 01. 2008 10:20)

Re: Konvergence a divergence řad

#9 28. 01. 2008 17:10

Re: Konvergence a divergence řad

#10 28. 01. 2008 17:34

Re: Konvergence a divergence řad

Zápatí