Matematické Fórum

Kuba.Lofi · 24. 11. 2009 13:19

Zdravim, mam problem s timto prikladem: urcete x, tak aby cisla a1 a2 a3 tvorila tyto cleny posloupnosti:

a1= sinx
a2= sin(x+pí/4)
a3= sin(x+pí/2)
----------------------

zjistil jsem ze teda diference bude sin pí/4 ale jak s tim mam dal operovat to teda nevim....priklad vypada jednoduse, a ja vim ze i nejaky jendoduchy krok ho vyresi...za pomoc dekuju...

u_peg · 24. 11. 2009 13:30

Aby to bola aritmetická postupnosť, musí platiť:
$\forall n \in \mathbb{N}: a_{n+1} - a_n = d$

Teda:
$\sin $x+\frac{\pi}{4}$ - \sin (x) = d\nl \sin $x+\frac{\pi}{2}$ - \sin $x+\frac{\pi}{4}$ = d$
$\sin $x+\frac{\pi}{4}$ - \sin (x) = \sin $x+\frac{\pi}{2}$ - \sin $x+\frac{\pi}{4}$$
Teraz by som pouzil nejaky suctovy vzorec a ono to z toho vylezie.

Wotton · 24. 11. 2009 13:31

Nějak mi to zadání nedává smysl.

Pokud by to bylo Určete x tak, aby čísla a1, a2, a3 tvořila první tři členy aritmetické posloupnosti, pak by to bylo takhle:

a2=a1+d
a3=a1+2d

když dosadíš, tak:

sin(x+pí/4) = sinx+d
sin(x+pí/2) = sinx+2d

Čímž ti vznikne soustava dvou rovnic o dvou neznámých (d,x).

Kuba.Lofi · 24. 11. 2009 13:39

↑ Wotton:z tehle soustavy jsem si vyjadril D, a kdyz ho kamkoliv dosadim tak mi vyjde x=0, a to mi nedava spat...

Wotton · 24. 11. 2009 13:45

Když to upravíš, tak dostaneš:

2sin(x+pí/4) - 2sinx = 2d
sin(x+pí/2) - sinx = 2d

z toho

2sin(x+pí/4) - 2sinx = sin(x+pí/2) - sinx

a dále

2sin(x+pí/4) = sin(x+pí/2) + sinx

Což je přesně to co psal ↑ u_peg:, a z týhle rovnice ti nemůže vyjít x=0

Cheop · 24. 11. 2009 14:00 — Editoval Cheop (24. 11. 2009 14:03)

↑ Kuba.Lofi:
Podle mne to vyjde:
$x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$
Protože, když použiješ součtové vzorce tak nakonec dospěješ k rovnici:
$\sin x=-\cos x$
Ta řada pak bude:
$a_1=\frac{\sqrt 2}{2}\nla_2=0\nla_3=-\frac{\sqrt 2}{2}$

Kuba.Lofi · 24. 11. 2009 14:02

↑ Cheop:jo takovy je vysledek, mohli by jste mi to prosim jeste vic rozepsat ? ja jsem asi fakt uplne vygumovanej dneska... :/

KennyMcCormick

↑ Kuba.Lofi:
$sinx+d=sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\nl sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}+d=sin{\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}$

Z první rovnice vyjádřím $d$
$sinx+d=sinxcos\frac\pi4+cosxsin\frac\pi4\nl sinx+d=\frac{1}{\sqrt2}sinx+\frac{1}{\sqrt2}cosx\nl d=\frac{1-\sqrt2}{\sqrt2}sinx+\frac{1}{\sqrt2}cosx$

Dosadím do druhé rovnice:
$sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}+\frac{1-\sqrt2}{\sqrt2}sinx+\frac{1}{\sqrt2}cosx=sin{\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}\nl sinxcos\frac\pi4+cosxsin\frac\pi4+\frac{1-\sqrt2}{\sqrt2}sinx+\frac{1}{\sqrt2}cosx=sinxcos\frac\pi2+cosxsin\frac\pi2\nl \frac{1}{\sqrt2}sinx+\frac{1}{\sqrt2}cosx+\frac{1-\sqrt2}{\sqrt2}sinx+\frac{1}{\sqrt2}cosx=cosx\nl \frac{2-\sqrt2}{sqrt2}sinx+\frac{2-\sqrt2}{\sqrt2}cosx=0\nl sinx+cosx=0\nl sinx+\sqrt{1-sin^2x}=0\nl sinx=-\sqrt{1-sin^2x}\nl sin^2x=1-sin^2x\nl sin^2x=t\nl t=1-t\nl 2t=1\nl t=\frac12\nl sin^2x=\frac12\nl sinx=\frac{1}{\sqrt2}\vee sinx=-\frac{1}{\sqrt2}\nl x=\frac\pi4\vee x=-\frac\pi4$

Protože zapsat $cosx$ jako $\sqrt{1-sin^2x}$ je důsledková úprava, musím provést zkoušku.

$L=sin{\frac{\pi}{4}}+cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}\nl P=0\nl L\neq P$

Vidíme, že $\frac{\pi}{4}$ není řešení.

$L=sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}+cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}=0\nl P=0\nl L=P$

Řešení je:

$x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\wedge k\in\mathbb{Z}$

Cheop · 24. 11. 2009 14:12 — Editoval Cheop (24. 11. 2009 14:23)

↑ Kuba.Lofi:
$a_1=\sin x\nla_2=\sin\left(x+\frac\pi4\right)=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt 2}\nla_3=\sin\left(x+\frac\pi2\right)=\cos x$
Tedy platí:
$\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt 2}-\sin x=\cos x-\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt 2}$ - úpravou:
$\sin x=-\cos x\,\Rightarrow\nlx=\frac{3\pi}{4}+k\pi$
a pak:
$a_1=\frac{\sqrt 2}{2}\nla_2=0\nla_3=-\frac{\sqrt 2}{2}$

KennyMcCormick

↑ Cheop:
Ta perioda je $\pi$ , ne $2\pi$ , protože hledáme, jak často nastává $sinx=-cosx$ , a to je jednou za $\pi$ .

Cheop · 24. 11. 2009 14:23

↑ KennyMcCormick:
Máš pravdu, já nad tím už tak moc nepřemýšlel.

Kuba.Lofi · 24. 11. 2009 14:25

↑ KennyMcCormick:vysledek ma byt tak jak vypocital/a Cheop (podle ucebnice) 3/4pí+2kpí

KennyMcCormick

↑ Kuba.Lofi:
Tak to to mám špatně buď já, nebo učebnice, a poněkud neskromně si myslím, že já to nejsem :)) Přesvědčíš se o tom tím, že zkusíš dosadit čísla mimo $\frac34\pi+2k\pi$ , namátkou $-\frac{\pi}{4}$ , a ono to bude vycházet.

Cheop · 24. 11. 2009 14:35

↑ KennyMcCormick:
Pokud to zadání není nijak omezeno pak máš pravdu a řešením je $\frac34\pi+k\pi$
Jednou je ta řada:
$a_1=\frac{\sqrt 2}{2}\nla_2=0\nla_3=-\frac{\sqrt 2}{2}$
podruhé:
$a_1=-\frac{\sqrt 2}{2}\nla_2=0\nla_3=\frac{\sqrt 2}{2}$

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2009 13:19

Aritmeticka posloupnost

#2 24. 11. 2009 13:30

Re: Aritmeticka posloupnost

#3 24. 11. 2009 13:31

Re: Aritmeticka posloupnost

#4 24. 11. 2009 13:39

Re: Aritmeticka posloupnost

#5 24. 11. 2009 13:45

Re: Aritmeticka posloupnost

#6 24. 11. 2009 14:00 — Editoval Cheop (24. 11. 2009 14:03)

Re: Aritmeticka posloupnost

#7 24. 11. 2009 14:02

Re: Aritmeticka posloupnost

#8 24. 11. 2009 14:11 — Editoval KennyMcCormick (24. 11. 2009 14:18)

Re: Aritmeticka posloupnost

#9 24. 11. 2009 14:12 — Editoval Cheop (24. 11. 2009 14:23)

Re: Aritmeticka posloupnost

#10 24. 11. 2009 14:19 — Editoval KennyMcCormick (24. 11. 2009 14:20)

Re: Aritmeticka posloupnost

#11 24. 11. 2009 14:23

Re: Aritmeticka posloupnost

#12 24. 11. 2009 14:25

Re: Aritmeticka posloupnost

#13 24. 11. 2009 14:29 — Editoval KennyMcCormick (24. 11. 2009 14:29)

Re: Aritmeticka posloupnost

#14 24. 11. 2009 14:35

Re: Aritmeticka posloupnost

Zápatí