Matematické Fórum

Wosush · 24. 11. 2009 19:33

Výška trojúhelníka je poloviční oproti základně, na kterou je spuštěná. Jeden z úhlů při základně má 75°. Dokažte, že trojúhelník je rovnoramenný (i když ne nutně tak, že zachovává výraz základna, použitý v tomto zadání).

Preložil som to zo slovenčiny do češtiny najlepšie ako som vedel, tak snáď tomu porozumiete. Ďakujem.

FailED · 24. 11. 2009 21:09 — Editoval FailED (24. 11. 2009 21:21)

Zdravím, klidně jsi to mohl nechat ve slovenštíně :)

Mějme trojúhelník $\small{ABC}$ se základnou $\small{AB}$ , výškou $\small{v_c}$ s patou $\small{v_0}$ a úhlem $\small{\gamma}=\frac{5\pi}{12}$
Rozdělme si základnu na 2 části: $\small{Av_0}$ , $\small{v_0B}$
$\tan\frac{5\pi}{12}=\frac{v_c}{|Bv_0|}$ , z toho (s pomocí součtových vzorců $\small{\tan\frac{5\pi}{12}=\tan(\frac\pi4+\frac\pi6)=2+\sqrt{3}}$ )

Protože
$|AB|=2v_c$ :
$|Av_0|=2v_c-(2-\sqrt3)v_c = \sqrt{3}v_c$
$|AC|=\sqrt{|Av_0|^2+v_c^2} = \sqrt{$\sqrt{3}v_c$^2+v_c^2} = 2v_c$
|AB|=|AC| => trojúhelník je rovnoramenný.

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2009 19:33

Geometrický problém

#2 24. 11. 2009 21:09 — Editoval FailED (24. 11. 2009 21:21)

Re: Geometrický problém

Zápatí