Matematické Fórum

leník 5 · 27. 11. 2009 18:32

Prosím vás, nemůžu vypočítat tento příklad:

Dokažte: sqrt{2}( 1 + sin x) /( 1 - sin x )(vše je pod jednou odmocninou) - sqrt{2}( 1 - sin x / 1 + sin x ) ( opět vše pod jednou odmocninou) = 2 tg x

můj pokus:
dát na společného jmenovatele 1 - sin^ x

dostala jsem 4 sin x / 1 - sin^2 x

Děkuji moc.

teolog · 27. 11. 2009 18:38

Zkus oba zlomky rozšířit. První výrazem 1+sinx a druhý výrazem 1-sinx. Pokud to pak ještě neuvidíš, dej vědět. Dám druhou nápovědu :)

leník 5 · 27. 11. 2009 19:56

Udělala jsem to, ale dostala jsem se ke stejným koncům, že bych dělala zase toho společného jmenovatele jako předtím. Asi to kazím.

marnes · 27. 11. 2009 20:10

↑ leník 5:
$\sqrt{\frac{1 + sin x} {1 - sin x}} - \sqrt{\frac{1 - sin x}{1 + sin x}}= 2 tg x$ umocn9me na druhou

$\frac{1 + sin x} {1 - sin x} - 2 +\frac{1 - sin x}{1 + sin x}=4 tg^2 x$ dal pokracuj sama

teolog · 27. 11. 2009 20:16

↑ leník 5:
Po rozšíření dostaneš
$\sqrt {\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}} - \sqrt {\frac{(1-\sin x)^2}{1-\sin^2 x}}$

V dalším kroku nahradíš výraz $1-\sin^2 x$ výrazem $\cos^2 x$ . Pak by to už mělo jít snadno odmocnit. A dál to snad už zvládneš. Kdyžtak ještě napiš.

leník 5 · 27. 11. 2009 20:36

Vyšlo mně 4 sin x / cos ^2 x , ale jestli to mám správně vypočítané, tak zase nevím, jak z toho cos ^2 dostanu 2 cos x. Je to se mnou práce, že?

teolog · 27. 11. 2009 20:44

↑ leník 5:
Teď si nejsem jist, na koho reaguješ. Nechtěl jsem téma komplikovat jiným postupem, marnes mne předběhl o pár minut, během kterých jsem hledal pravidla pro zápis v Texu. Takže ukáži můj postup.

Po rozšíření dostaneš $\sqrt {\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}} - \sqrt {\frac{(1-\sin x)^2}{1-\sin^2 x}}$
Po dosazení za jmenovatele dostneš $\sqrt {\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}} - \sqrt {\frac{(1-\sin x)^2}{\cos^2 x}}$
Teď můžeš oba zlomky odmocnit $\frac{(1+\sin x)}{\cos x} - \frac{(1-\sin x)}{\cos x}$
Zlomky od sebe odečteme $\frac{2\sin x}{\cos x}$
Poslední krok je snad jasný.

marnes · 27. 11. 2009 20:49 — Editoval marnes (27. 11. 2009 20:51)

↑ marnes:
$\frac{1 + sin x} {1 - sin x} - 2 +\frac{1 - sin x}{1 + sin x}=4 tg^2 x$

pokracuju - společný jmenovatel $cos^2x$

vysledny citatel $3-2cos^2x$

nasobime $cos^2x$

vznikne rovnice $3-cos^2x=4sin^2x$

nahradime $sin^2x$

vznikne rovnice $cos^2x=\frac{1}{2}$ a to uz snad zvladnes

leník 5 · 27. 11. 2009 20:58

Děkuji velmi pěkně vám dvěma (nevím totiž, jak tam dostáváte ta upozornění se šipkou, komu to směřujete), já jsem tam omylem nechala, když jsem to odmocnila v čitatelích, tu mocninu, proto mně to nevyšlo jak mělo.
U pana marnese jsem svým chabým rozumem nepochopila, když udělal odmocninu, jak tam přesunul tu -2 k 1. zlomku. Díky ještě jednou.

marnes · 27. 11. 2009 20:58

↑ stepan.machacek:
Jen můj názor na tvé řešení: odmocnina z $\sqrt {\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}}$ není $\frac{(1+\sin x)}{\cos x}$ , ale tento výraz by měl být v absolutní hodnotě, ne? Nekritizuju, ptám se:-)

leník 5 · 27. 11. 2009 20:59

No vidíte, když se podívám znovu, tak já jsem vlastně neodmocnila ani jmenovatele. Jsem prostě zmatkař.

marnes · 27. 11. 2009 21:00 — Editoval marnes (27. 11. 2009 21:01)

↑ leník 5:
pracuju podle vzorce $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ a součin výrazů pod odmocninou je jedna a jedna krát mínus dva je mínus dva

leník 5 · 27. 11. 2009 21:07

Tak jsem se zase něco přiučila. díky vám.

teolog · 27. 11. 2009 21:24

↑ marnes:
Máš samozřejmě pravdu. Já jsem to věděl, že by tam ta absolutní hodnota měla být, ale v tu chvíli jsem to považoval za formalitu, která by to jen zbytečně znepřehlednila. Ale když si to teď zkouším na papíře, tak zjišťuji, že to zas taková formalita není. Mohu tedy ten můj postup použít za nějakých doplňujících podmínek nebo to tedy takto vůbec nejde? Díky za odpověď. I já se stále učím a objevuji to, co již bylo zapomenuto :).

marnes · 27. 11. 2009 21:39

↑ stepan.machacek:
Vidím, že jsem si pěkně naběhl:-) Já to právě řešil tak, abych nemusel diskutovat, kdy je výraz tentýž nebo opačný. Musím ale díky umocňování provádět zkoušku. Myslím že by to mohlo být i po tvém, ale pak tedy rozdělit třeba na intervaly.

jelena · 27. 11. 2009 21:41

Zdravím vás,

mám jen jednu drobnou poznámku: pokud je zadání "Dokažte", tak neupravujeme obě strany zároveň, ani nemůže vzniknout rovnice ↑ marnes:. Obvykle levou stranu pomocí povolených úprav dovedeme k zápisu pravé strany.

Což myslím dodržoval kolega Štěpan.

K úpravě - snad by se lépe pracovalo se zápisem (neboť tak by se snaz přivedlo ke společnému jmenovateli bez dalšího rozšíření):

${\frac{\sqrt{1 + sin x}} {\sqrt{1 - sin x}}} - {\frac{\sqrt{1 - sin x}}{\sqrt{1 + sin x}}}=\ldots$

K otázce absolutní hodnoty při odmocnování - jelikož je v zápisu (1+sin x) nebo (1- sin x), což je vždy hodnota nezáporná, tak bych absolutní hodnotu nepoužívala, ale v ostatních úpravách (bez tohoto ověření) by to mělo být.

marnes · 27. 11. 2009 21:43

↑ stepan.machacek:
I když nad tím přemýšlím, tak ty čitatelé jsou vždy kladní nebo nula, tak by tam ta AH nemusela být, takže jen ve jmenovateli a tím by se to zjednodušilo

marnes · 27. 11. 2009 21:45 — Editoval marnes (27. 11. 2009 21:50)

↑ marnes:
No a pak se do toho vloží Jelena - zdravím:-) a zjistím, že neumím ani přečíst zadání:-)
Raději jdu spát

teolog · 27. 11. 2009 21:52

↑ marnes:
Čitatele jsou větší nebo rovno nule, takže absolutní hodnota zůszane ve jmenovateli, mám tedy |cos x|. Když to pak řeším pro dva intervaly, tak v jednom mi to vyjde -2tg x, což je špatně. Takže můj důkaz by fungoval jen pro $x\in(-\frac\pi2+2k\pi,\frac\pi2+2k\pi)$ .

marnes · 27. 11. 2009 22:08 — Editoval marnes (27. 11. 2009 22:10)

↑ marnes:
nejdu, ještě dokončím načatou práci
${\frac{\sqrt{1 + sin x}} {\sqrt{1 - sin x}}} - {\frac{\sqrt{1 - sin x}}{\sqrt{1 + sin x}}}=\frac{\sqrt{(1 + sin x)^2}-\sqrt{(1 - sin x)^2}$ misto toho ? má být $cos^2x$

$=\frac{1+sinx-1+sinx}{cosx}=\frac{2sinx}{cosx}=2tgx$
jak psala Jelena, není to rovnice, ale důkaz:-(

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2009 18:32

vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#2 27. 11. 2009 18:38

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#3 27. 11. 2009 19:56

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#4 27. 11. 2009 20:10

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#5 27. 11. 2009 20:16

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#6 27. 11. 2009 20:36

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#7 27. 11. 2009 20:44

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#8 27. 11. 2009 20:49 — Editoval marnes (27. 11. 2009 20:51)

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#9 27. 11. 2009 20:58

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#10 27. 11. 2009 20:58

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#11 27. 11. 2009 20:59

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#12 27. 11. 2009 21:00 — Editoval marnes (27. 11. 2009 21:01)

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#13 27. 11. 2009 21:07

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#14 27. 11. 2009 21:24

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#15 27. 11. 2009 21:39

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#16 27. 11. 2009 21:41

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#17 27. 11. 2009 21:43

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#18 27. 11. 2009 21:45 — Editoval marnes (27. 11. 2009 21:50)

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#19 27. 11. 2009 21:52

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

#20 27. 11. 2009 22:08 — Editoval marnes (27. 11. 2009 22:10)

Re: vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Zápatí