Matematické Fórum

d.lord · 28. 11. 2009 19:50

Nedaří se mi vyšetřit průběh této funkce:
$y = x + \frac x{3x+1}$
1.Definiční obor jsem určil jako: R - { - 1/3}
2. Funkce není sudá ani lichá
3. Průsečíky s osami: [0,0][-1,0][1/3,0]
4. Problemy mam se spojitosti tehle funkce, nevim, kde zacit potreboval bych pomoct sestavit limity (vysel jsem ze cviku)
5.Monotonost jsem urcil pomoci limit jdoucich k +- inf. Vyslo mi, ze pro lim blizici se k -inf je -inf a k +inf je +inf
Nulove body: zjistil jsem 2 a to: -2, -1/3 (tady jsem se zarazil, nejak se mi to nezda vzhledem k D(f)).
Nebyl jsem schopen ucit druhou derivaci zderivovanim prvni derivace $1 + \frac 1 {(3x+1)^2^}$ .
Ještě bych potřeboval poradit, jak urči asymptoty.
Je možné, že jsem ve svém postupu někde udělal chybu, budu vděčný za každou radu, opravu či výtku.

jelena · 28. 11. 2009 21:02 — Editoval jelena (28. 11. 2009 21:05)

↑ d.lord:

Podrobně pro průběh: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Prubeh-f … fault.aspx

Online nástroje pro vyšetření průběhu: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=6616

1, 2 OK.

3) průsečík s osou x vzníká řešením rovnice: $0=x+\frac x{3x+1}=\frac{3x^2+x+x}{3x+1}$ vysledek.

4) bod nespojitosti je x=-1/3, v tomto bodě vyšetřuješ limitu funkce zleva a zprava, také vyšetřuješ v +oo, v -oo

5) Monotonnost budeš vyšetřovat až po určení 1. derivace - ze znamenka 1. derivace

Nulové body (zřejmě máš na mýsli stacionární body, body podezřelé z extrému - stanoveno z 1. derivace), bod nespojitosti bereme v potaz také, jelikož vyšetřujeme chování funkce před a po bodu nespojitosti.

6) 2 derivace - přepiš výsledek 1. derivace takto, půjde to lépe derivovat: $1 + \frac 1 {(3x+1)^2^}=1 + (3x+1)^{-2}$ .

Derivace a celý průběh kontroluj vMAW

Pokud budeš potřebovat další kontrolu, tak se ozví tady. Ať se vede.

teolog

↑ d.lord:
1) definiční obor: $D_f = \mathrm R \backslash \{-\frac13 \}$
2) průsečíky s osami: $P_x[-\frac23, 0], P_y[0,0]$
3) první derivace: $y'=1+\frac1{(3x+1)^2}>0 \Rightarrow$ fce je rostoucí ne celém def. oboru, nemá žádné extrémy
4) druhá derivace: $y''=\frac{-6}{(3x+1)^3}$ fce je konvexní na $(-\infty,-\frac13)$ a konkávní na $(-\frac13, \infty)$
5) asymptoty (ve tvaru y = kx + q): $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\frac{f(x)}x}=k$ a $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{f(x)-kx}=q$ v našem případě vychází jedna asymptota $y=x+\frac13$

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2009 19:50

Vyšetřete průběh funkce

#2 28. 11. 2009 21:02 — Editoval jelena (28. 11. 2009 21:05)

Re: Vyšetřete průběh funkce

#3 28. 11. 2009 21:13 — Editoval stepan.machacek (28. 11. 2009 21:28)

Re: Vyšetřete průběh funkce

Zápatí