Matematické Fórum

ajucha · 29. 11. 2009 12:13

když mám příklad: sin2x=0 počítam takto 2sinx.cox=0 -> cox=o a sinx=o
cox=0
x=pí/2 + kpí , kde k=0 a proto výsledek je x=pí/2

sinx=o
x=kpí , kde pí=0 a proto výsledek je x=0
Je to tak?

a když je příklad: cos2x=0 -> cos*2x-sin*2x=0 *2 je jako na druhou:)
cos*2x -1+cos*2x=0
cos*2x=1
cosx=1 , -1
cosx=1 cosx=-1
x=0 x=pí + kpí , kde pí=0 proto x=o ?????

jelena · 29. 11. 2009 12:54

↑ ajucha:

Pokud nemáš omezený interval, na kterém hledáš kořeny goniometrické rovnice, tak je potřeba ke každé nalezené hodnotě úhlu doplnit periodu, jak se to opakuje. Ve tvém zápisu to je $k\pi$ . Pro první "otočku" k=0, proto bereme jen výsledek úhlu, pro druhou "otočku" k=1 atd.

Ovšem není nutný rozklad:

$\sin2x=0$ hledáme úhel (2x) - pro které úhly platí, že jejich sinus roven 0? pro $0$ , pro $\pi$ (opakuje se to tedy s periodou $k\pi$ )

$2x=0+k\pi$ dělíme levou a pravou stranu 2, dostaneme

$x=0+\frac{k\pi}{2}$

-----------------------

Pokud to dělá problémy, tak můžeš použit substituci: 2x=a

$\sin a=0$ atd a nezapomenou vratit substituci.

----------------------
Pokud to chceš rozepisovat podle periody $2k\pi$ (jak je zvýkem pro sin, cos), tak takto:

$\sin2x=0$

$2x_1=0+2k\pi$ nebo $2x_2=\pi+2k\pi$ dělíme levou a pravou stranu 2, dostaneme

$x_1=0+k\pi$ nebo $x_2=\frac{\pi}{2}+k\pi$ , výsledek sjednotíme do jednoho zápisu: $x=\frac{k\pi}{2}$

Je to tak srozumitelné? Máš nějaké studijní materiály? Zkusiš podle toho 2. zadání sama?

A prosím, umísťuj témata přiměřeně - toto určitě patří do SŠ a trochu prosím lepší úpravu (písmenko o není totež, co číslice 0). Děkuji.

zdenek1

↑ ajucha:
Proč to dělat jednoduše, když to jde složitě.
$sin2x=0$
$2x=k\pi$
$x=\frac{k\pi}2$

$\cos2x=0$
$2x=\frac\pi2+k\pi$
$x=\frac\pi4+\frac{k\pi}2$

To Jelena: Ta poznámka není na tebe, ale na ajucha

ajucha · 29. 11. 2009 13:06

↑ zdenek1:
a když to má být v intervalu (0, 2pí) - včetně nuly,
tak je k=0,1
takže u sin2x=0 bude výsledek x=0, x=pí/2
cos2x=0 bude výsledek x=pí/4, x=pí/4 + pí/2 ???

ajucha · 29. 11. 2009 13:10

↑ zdenek1:
a kdybych měla ještě příklad sinx.cox=1 ?? zase v intervalu (0,2pí)-včetně nuly
sinx=1 cox=1
x=pí/2+kpí , kde k=0 -> x=pí/2 x=0 + kpí , kde k=0 -> x=0
je to tak???

jelena · 29. 11. 2009 13:22

↑ ajucha:

a když to má být v intervalu (0, 2pí) - včetně nuly,
tak je k=0,1
takže u sin2x=0 bude výsledek x=0, x=pí/2
cos2x=0 bude výsledek x=pí/4, x=pí/4 + pí/2 ???

Je potřeba použit obecný zápis výsledku: $x=\frac{k\pi}{2}$ a dosazovat k tak dlouho, dokud úhel zůstává v povoleném intervalu (0, 2pí)

Dosazuji:

k=0, x=0, (pokud je interval otevřený, tak tato hodnota do něho nepatří)
k=1, x=pi/2
k=2, x=pi
k=3, x=3pi/2
k=4, x=2pi (už nepatří do intervalu, pokud je interval otevřený.

a kdybych měla ještě příklad sinx.cox=1 ?? zase v intervalu (0,2pí)-včetně nuly
sinx=1 cox=1
x=pí/2+kpí , kde k=0 -> x=pí/2 x=0 + kpí , kde k=0 -> x=0
je to tak???

Vůbec ne, součín lze bez obav použit pouze pro pravou stranu 0, tady nemáme, proto je nutná úprava:

například tak: $\frac{2\sin x \cdot\cos x}{2}=1$

$\frac{\sin 2x}{2}=1$ řešíme takovou rovnici. Zvladneš?

ajucha · 29. 11. 2009 14:47

↑ jelena:

tak si to pak upravim sin2x/2=1
sin2x=2 no a pak nevim:( 2 snad nejde ne?

zdenek1 · 29. 11. 2009 14:55

↑ ajucha:
Samozřejmě, že to nejde.

ajucha · 29. 11. 2009 15:14

jo to sem si myslela:) takze nema řešení.
a snad už posledni příklad,s kterým si nevím rady

cosx + odmocnina ze 3 sinx=1 nejde mi to upravit

Doxxik · 29. 11. 2009 15:36 — Editoval Doxxik (29. 11. 2009 21:14)

přepis: $cos x + \sqrt3 \cdot sin x = 1$

smazáno - vycházel jsem ze špatných vzorců.. omlouvám se a děkuji FailEDovi za upozornění..

zdenek1 · 29. 11. 2009 16:20

↑ ajucha:
Nebo obě strany rovnice vydělíme 2
$\frac{\sqrt3}2\sin x +\frac12\cos x=\frac12$
$\sin x\cos\frac\pi6+\cos x \sin\frac\pi6=\frac12$ to je vzoreček
$\sin(x+\frac\pi6)=\fra12$
$x_1+\frac\pi6=\frac\pi6+2k\pi\ \Rightarrow\ x_1=2k\pi$
$x_2+\frac\pi6=\frac{5\pi}6+2k\pi\ \Rightarrow\ x_2=\frac{2\pi}3+ 2k\pi$

FailED · 29. 11. 2009 16:27 — Editoval FailED (29. 11. 2009 16:30)

↑ Doxxik:
Říkáš, že $cos x = \frac{cotg x}{tg x}$ a $sin x = \frac{tg x}{cotg x}$ takže $\sin x=\frac{1}{cosx}$ ?

↑ ajucha:
$\cos x + \sqrt3 \cdot sin x = 1$
$\cos x + \sqrt3\cdot\sqrt{1-\cos^2x}=1$
$\cos x-1=\sqrt{3-3\cos^2x}$
$\cos^2x-2\cos x+1=3-3\cos^2x$
$2cos^2x-cosx-1=0$

ajucha · 29. 11. 2009 17:53

↑ zdenek1:
a jakej to je vzoreček? zádnj takovej jsem nenašla

zdenek1 · 29. 11. 2009 19:38

↑ ajucha:
$\sin(\alpha+\beta)=$

jelena · 29. 11. 2009 19:47

↑ ajucha:

Kolega Zdeněk1 používá (pamatuje si :-) nejdřív tabulku hodnot goniometrických funkcí a převádí hodnotu $\frac{\sqrt 3}{2}$ na $\cos\frac {\pi}{6}$ ..., potom používá součtové vzorce: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/k … unkce.html ve svém zápisu má jakoby pravou stranu ze vzorce a nahrazuje levou stranou ze vzorce.

Jak jsem pochopila, s goniometrii právě začínaš, asi ještě nemáš v použití vzorců dostatečnou praxi, proto možna více blizké bude řešení od ↑ FailED:, ještě jednodušší úprava je:

$\cos x + \sqrt3 \cdot sin x = 1$

$\cos x-1=\sqrt3 \cdot sin x$ , levou a pravou stranu umocňuješ na druhou. Je to ovšem úprava neekvivalentní, proto bude potřeba zkoušky.

Z pohledu provedení pouze ekvivalentních úprav je řešení od ↑ zdenek1: zcela bez rizika, ale potřebuješ dobrou orientaci v hodnotách a ve vzorcích. Ale to se určitě s cvikem podaří.

Stačí tak na vysvětlenou?

Kpetrosek · 09. 11. 2010 17:52

↑ zdenek1: chtěl jsem se zeptat, jestli to x= kpí/2 je celkový výsledek, děkuji

Matematické Fórum

#1 29. 11. 2009 12:13

trigonometrické rovnice

#2 29. 11. 2009 12:54

Re: trigonometrické rovnice

#3 29. 11. 2009 12:56 — Editoval zdenek1 (29. 11. 2009 12:58)

Re: trigonometrické rovnice

#4 29. 11. 2009 13:06

Re: trigonometrické rovnice

#5 29. 11. 2009 13:10

Re: trigonometrické rovnice

#6 29. 11. 2009 13:22

Re: trigonometrické rovnice

#7 29. 11. 2009 14:47

Re: trigonometrické rovnice

#8 29. 11. 2009 14:55

Re: trigonometrické rovnice

#9 29. 11. 2009 15:14

Re: trigonometrické rovnice

#10 29. 11. 2009 15:36 — Editoval Doxxik (29. 11. 2009 21:14)

Re: trigonometrické rovnice

#11 29. 11. 2009 16:20

Re: trigonometrické rovnice

#12 29. 11. 2009 16:27 — Editoval FailED (29. 11. 2009 16:30)

Re: trigonometrické rovnice

#13 29. 11. 2009 17:53

Re: trigonometrické rovnice

#14 29. 11. 2009 19:38

Re: trigonometrické rovnice

#15 29. 11. 2009 19:47

Re: trigonometrické rovnice

#16 09. 11. 2010 17:52

Re: trigonometrické rovnice

Zápatí