Matematické Fórum

kitchima · 28. 11. 2009 15:07

Ahojte. Mam taketo zadanie prikladov:

Dokážte alebo vyvrátte (uvedením protipríkladu) nasledujúce tvrdenia:
(Poznámka: Obrázok - Vennov diagram nie je dôkaz.)
Nech $A,B,C,D \subseteq U$ , U je univerzum.

a) ak $(A \subseteq B)$ a $(C \subseteq D)$ , tak $(A \cap C \subseteq B \cap D)$ a $(A \cup C \subseteq B \cup D)$

b) $A \cap C \subseteq B \cap C \rightarrow A=B$

Chcela by som vas poprosit, je niekde navod, ako taketo priklady riesit? Nejake pravidla? Dakujem za pomoc

lukaszh · 28. 11. 2009 15:31

↑ kitchima:
$(A\subseteq B)\wedge(C\subseteq D)\Rightarrow(A \cup C \subseteq B \cup D)$
Na toto postačí úvaha
$(A\subseteq B)\Rightarrow A\subseteq B\cup D\nl(C\subseteq D)\Rightarrow C\subseteq B\cup D$
Keďže A aj C sú podmnožiny BuD, tak aj ich zjednotenie je podmnožinou BuD.

Pri prieniku to bude trošku inak.
$(A\subseteq B)\Rightarrow(A\cap D)\subseteq(B\cap D)\nl(C\subseteq D)\Rightarrow(C\cap B)\subseteq(B\cap D)$
Tak ako aj v v predchádzajúcom prípade, ak sú dve množiny podmnožiny tej istej množiny, tak aj ich zjednotenie bude podmnožina tejto množiny.
$(A\cap D)\cup(C\cap B)\subseteq(B\cap D)$
Teraz treba už len ukázať, že $(A\cap C)\subseteq(A\cap D)\cup(C\cap B)$ .

kitchima · 28. 11. 2009 15:57

↑ lukaszh:
vdaka, ale uvahy nastacia.... potrebujem nejaky postup na upravu tychto mnozin. jednoducho, ako sa z predpokladu dostanem k vysledku

kitchima · 28. 11. 2009 17:11

Dobre, to a) by malo vyzerat takto:

$(A \subseteq B) \wedge (C \subseteq D) \rightarrow (A \cap C \subseteq B \cap D) \wedge (A \cup C \subseteq B \cup D)$

$(\forall x \in A \rightarrow x \in B) \wedge (\forall x \in C \rightarrow x \in D) \leftrightarrow$
$[(\forall x \in A \wedge C) \rightarrow x \in B] \wedge [(\forall x \in A \wedge C) \rightarrow x \in D] \leftrightarrow$
$[(\forall x \in A \cap C) \rightarrow x \in B \cap x \in D] \wedge [(\forall x \in A \cup C) \rightarrow x \in B \cup x \in D] \leftrightarrow$
$(A \cap C \subseteq B \cap D) \wedge (A \cup C \subseteq B \cup D)$

Takto by nejak mal vyzerat ten dokaz, len neviem podla akeho postupu sa to robi. Tak vas prosim o pomoc

kitchima · 30. 11. 2009 11:21

↑ kitchima:
Ja viem, ze sa taketo veci beru na prednaskach a cviceniach, ale mam babatko, studujem sama doma. Tak vas prosim o pochopenie a pomoc. Vazne to potrebujem pochopit

Wotton · 30. 11. 2009 12:56

↑ kitchima:
Neexistuje univerzální postup jak dokazovat. Jak postupovat ti naznačil ↑ lukaszh:. Nejdřív si musíš sestavit myšlenku důkazu, pak ho zapsat.

Takže by to mohlo vypadaty například takhle (budu dělaty jen jednu možnost): A je častí B a C je částí D. To znamená, že i (A průmik C) je částí B ale i částí D. No a když je částí obou, tak musí být částí i jejích průniku. Když to pak zapíšu formálně tak vyjde něco takovýho:
$A \subseteq B\nl A\cup C\subseteq B\nl C \subseteq D\nl A\cup C\subseteq D\nl A\cup C\subseteq B\cup D$

Nebo bys mohla postupovat třeba takhle: Jestliže A je částií B, tak pak A průnik C je částí B průnik C. Jenže protože C je částí D, tak B průnik C musí být částií B průnik D. No a když to dáme vše dohromady, tak A průnik C je částí B průnik D. Formálně takto:
$A \subseteq B\nl A\cup C\subseteq B\cup C\nl C \subseteq D\nl B\cup C\subseteq B\cup D\nl A\cup C\subseteq B\cup D$

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2009 15:07

mnoziny-dokazy

#2 28. 11. 2009 15:31

Re: mnoziny-dokazy

#3 28. 11. 2009 15:57

Re: mnoziny-dokazy

#4 28. 11. 2009 17:11

Re: mnoziny-dokazy

#5 30. 11. 2009 11:21

Re: mnoziny-dokazy

#6 30. 11. 2009 12:56

Re: mnoziny-dokazy

Zápatí