Matematické Fórum

bobik · 23. 08. 2009 22:50 — Editoval bobik (23. 08. 2009 22:53)

ahojte, poprosil by som o radu s prikladom

urcte rovnicu priamky kolmej na dotykovu rovinu plochy danej vektorvovou funkciou
$r(u,v)=(3u\sqrt{v},\frac{u-v}{u^2+v},2u+v^2)$ v bode A urcenom $[u_0=0,v_0=2]$
za rady dakujem

p.s prepacte poplietol som kategorie, chcel som tento text vytvorit v novom prispevku ale nejak som to doplietol, dakujem za pochopenie.

bobik · 23. 08. 2009 22:51

ahojte, mam takyto priklad, potrebujem urcit objem kuzela o polomere r a vyske v pomocou dvojneho resp. trojneho integralu, nie pomocou vzorca pre objem rotacnej plochy pomocou integralu, vid. http://sk.wikipedia.org/wiki/Ur%C4%8Dit … k.C3.A1cie
dakujem za rady

Mephisto

No, zkusme to třeba takto :)

Budeme integrovat kolem dokola podstavy toho kužele (fi = 0..2 pi), a pak zprostředka k okraji, tj. poloměr x půjde od 0 do r, a výška kužele v bodě (fi,x) bude (r-x)/r*v.

Potom
$V = \int_0^{2\pi} \int_0^r \frac{r-x}{r} v \cdot x \ dx\ d\phi=\nl \frac{v}{r} \int_0^{2\pi} \int_0^r rx-x^2\ dx\ d\phi = \nl \frac{v}{r} \int_0^{2\pi} \frac{r^3}{6} \ d\phi = \nl \frac{2\pi r^2 v}{6r} = \frac{1}{3} \pi r^2 v$

OK?

Mephisto

Koukám, že počítat to integrací podle dx dy je mimořádně nešikovné (= nepřehledné, zbytečně komplikované) a stejně to člověka svádí k zavedení polárních souřadnic při první příležitosti... No pokud by byl zájem, tak se na to můžeme kouknout...

Podle mě ten integrál by vypadal takto:

$V = 4 \int_0^r \int_0^{\sqrt{r^2-x^2}} \left( 1-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r}\right) \cdot v \ dy \ dx$

A výpočet docela hnus :) Chce se do toho někomu?

Mephisto · 24. 08. 2009 08:00

kua je to vůbec dobře??? Vždyť to neumí spočítat ani Wolfram... nemám to nakonec blbě?!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+(1-sqrt(x^2%2By^2)%2Fr)v+x%3D0..r%2C+y%3D0..sqrt(r^2-x^2)

Olin · 24. 08. 2009 14:51 — Editoval Olin (24. 08. 2009 14:52)

No, asi není Wolfram Alpha dostatečně silná zbraň :-)

Code:

In[14]:= Assuming[r > 0 && x <= r && y <= r && x >= 0 && y >= 0, 
 Integrate[
  Integrate[1 - Sqrt[x^2 + y^2]/r, {y, 0, Sqrt[r^2 - x^2]}], {x, 0, r}]]

Out[14]= (\[Pi] r^2)/12

Výpočet trval sice docela dlouho, ale prokázal, že to tak skutečně je.

Mephisto · 24. 08. 2009 15:34

Hehe, to by mě zajímalo jestli někdo přijde na postup jak se k tomu výsledku dobrat :D

Já si s tím hrál aspoň půl hodiny, zbavil jsem se toho vnitřního integrálu, a skončil jsem na tomhle mezivýsledku:

$\int_0^r x^2 arctg \frac{\sqrt{r^2-x^2}}{x} \ dx$

Je to jeden integrál z asi 3, objem toho kuželu je pak jejich součtem. Ty zbývající dva jsou ovšem jednoduché, ale s tímhle si moc nevím rady :)

Olin · 24. 08. 2009 15:40

$\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{r^2-x^2}}{x} = \arccos \frac xr$

Pomůže?

bobik · 24. 08. 2009 21:56

dakujem, pomohlo mi to, pouzil som verziu od Mephista.
K tomu prikladu o dotikovej rovine by ste mi nevedeli pomoct

Mephisto · 24. 08. 2009 22:02

↑ Olin:

Oline pěkné! :) Teda, tohle mě taky mohlo napadnout... nj, jasně že to pomůže! :) Zítra na to ještě kouknu...

Mephisto

Oline móóc pěkné! :) Jak jsi na to vůbec přišel? Já to dokázal až se znalostí výsledku, takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Kondr · 24. 08. 2009 22:37

A to se nesmí integrovat jako
$\int_0^v\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{ry}{v}}\frac{ry}{v} dt d\phi dy$ ?

Mephisto · 24. 08. 2009 22:55

No jo, ono to fakt vychází! :) Dokonce strašně jednoduše... hm...

bobik · 24. 08. 2009 23:17 — Editoval bobik (24. 08. 2009 23:20)

naozaj to vychadza pekne a rychlo, len nemalo by tam byt iba od 0 po pi namiesto 2pi?
↑ Kondr:
$\int_0^v\int_{0}^{2\pi}\frac{r^2y^2}{v^2} d\phi dy = \int_0^v\frac{2{\pi}r^2y^2}{v^2} dy = \frac{2{\pi}r^2v}{3}$

Mephisto · 24. 08. 2009 23:18

On ten Kondrův způsob je vlastně v principu stejný jako ten můj první, jenom on integruje od špičky toho kužele k podstavě, zatímco já opačně... a Kondrův způsob je hezčí, páč tím pádem nemusí odečítat x-v...

Hezký nápad! :)

Kondr · 24. 08. 2009 23:28

↑ bobik:Zapomněl jsi tam polovinu z toho vnitřního integrálu ( $\int x=x^2/2$ ).

bobik · 02. 12. 2009 09:07

↑ Kondr:dobry den, v tomto priklade mam stale nejasnost s tym integralom $\int x=\frac{x^2}{2} dx$
kde to v tom trojnom integrale vyuzit? vzdy mi to vychadza $\frac{2{\pi}r^2v}{3}$
dakujem

Matematické Fórum

#1 23. 08. 2009 22:50 — Editoval bobik (23. 08. 2009 22:53)

objem telesa

#2 23. 08. 2009 22:51

Re: objem telesa

#3 24. 08. 2009 07:01 — Editoval Mephisto (24. 08. 2009 07:06)

Re: objem telesa

#4 24. 08. 2009 07:43 — Editoval Mephisto (24. 08. 2009 08:21)

Re: objem telesa

#5 24. 08. 2009 08:00

Re: objem telesa

#6 24. 08. 2009 14:51 — Editoval Olin (24. 08. 2009 14:52)

Re: objem telesa

Code:

#7 24. 08. 2009 15:34

Re: objem telesa

#8 24. 08. 2009 15:40

Re: objem telesa

#9 24. 08. 2009 21:56

Re: objem telesa

#10 24. 08. 2009 22:02

Re: objem telesa

#11 24. 08. 2009 22:11 — Editoval Mephisto (24. 08. 2009 22:13)

Re: objem telesa

#12 24. 08. 2009 22:37

Re: objem telesa

#13 24. 08. 2009 22:55

Re: objem telesa

#14 24. 08. 2009 23:17 — Editoval bobik (24. 08. 2009 23:20)

Re: objem telesa

#15 24. 08. 2009 23:18

Re: objem telesa

#16 24. 08. 2009 23:28

Re: objem telesa

#17 02. 12. 2009 09:07

Re: objem telesa

Zápatí