Matematické Fórum

katan · 30. 11. 2009 10:53

Zdravim, potřeboval bych pomoc s touto rovnicí, nemůžu se dopočítat výsledku

zdenek1

↑ katan:
Rovnici vyděl $\cos^2x$ , udělej substituci $a=\tan x$ a vyřeš kvadratickou rovnici

Cheop · 30. 11. 2009 11:54 — Editoval Cheop (30. 11. 2009 12:01)

↑ katan:
Trochu složitější výpočet než od ↑ zdenek1: je tento:
$2\,\sin^2x-7\,\sin x\cdot\cos x+6\,\cos^2x=0$ - úpravou přes goniometrickou jedničku dostaneme:
$4\,\sin^2x+7\,\sin x\cdot\cos x-6=0\nl6-4\sin^2x=7\,\sin x\cdot\cos x$ - umocníme a dostaneme:
$65\sin^4x-97\sin^2x+36=0$
Substituce $\sin^2x=a$
$65a^2-97a+36=0$ a řešíme kvadratickou rovnici
$a_1=\frac 45\nla_2=\frac{9}{13}$
Vše dopočítáme, ale musíme udělat zkoušku.

katan · 01. 12. 2009 11:39

děkuji všem za pomoc :)

pawliik · 01. 12. 2009 16:44

Ahoj, pomůže mi někdo se dvěma příklady z goneomtrie? Vůbec se v tom nevyznám. Děkuji. Btw. neumím zádat ty příkazy tak snad to nebude tak hrozné :o)

cotg^2 x/4=5cotg x/4 + 6

sin^4+2=3sin^2x

FailED · 01. 12. 2009 16:52 — Editoval FailED (01. 12. 2009 16:57)

↑ pawliik:
Ten první je $\frac{\cot^2 x}{4}=\frac{5\cot x}{4}+6$ ? Jestli je to $\cot^2 \frac{x}{4}=5\cot \frac{x}{4}+6$ zaveď substituci $cot \frac{x}{4}=y$

Ten druhý je bikvadratická rovnice, zaveď substituci $\sin^2 x = y$

pawliik · 01. 12. 2009 17:03

↑ FailED:

Děkuju moc, ja totiž neumím ty příkazy víš :) ale pochopil si to dobře. Už jsem oba dva zpočítal a přišlo mi to strašně lehký když jsi mi řekl jak to mám udělat. Dík!!!

katan · 02. 12. 2009 10:31

↑ Cheop:

prosím mohl by si mi ukázat jak krok po kroku vypadá ta úprava přes goniomet. jedničku? Teprve to probíráme a tohle ještě neumím

Tychi · 02. 12. 2009 10:40

↑ katan: $2\,\sin^2x-7\,\sin x\cdot\cos x+6\,\cos^2x=0$
$2\,\sin^2x-7\,\sin x\cdot\cos x+6\,\(1-sin^2x)=0$

katan · 02. 12. 2009 11:51

↑ Tychi:

děkuji, mohl by si mi ještě ukázat jak z toho dostanu ten řádek pod tím? další postup už je mi jasnej, ale na ten druhej řádek nemůžu přijít :(

Tychi · 02. 12. 2009 11:54 — Editoval Tychi (02. 12. 2009 11:54)

$2\,\sin^2x-7\,\sin x\cdot\cos x+6\,\(1-sin^2x)=0$
$2\,\sin^2x-7\,\sin x\cdot\cos x+6-6sin^2x=0$
$-4\,\sin^2x-7\,\sin x\cdot\cos x+6=0$
$4\,\sin^2x+7\,\sin x\cdot\cos x-6=0$

Cheop · 02. 12. 2009 11:57 — Editoval Cheop (02. 12. 2009 12:13)

↑ pawliik:
$2\,\sin^2x-7\,\sin x\cdot\cos x+6\,\cos^2x=0\nl2\,\sin^2x-7\,\sin x\cdot\cos x+6\,\(1-sin^2x)=0$
$\nl2\,\sin^2x-7\,\sin x\cdot\cos x-6\,\sin^2x+6=0\nl4\,\sin^2x+7\,\sin x\cdot\cos x-6=0\nl6-4\,\sin^2x=7\,\sin x\cdot\cos x$
Tuto rovnici umocníme a upravíme.
$6-4\,\sin^2x=7\,\sin x\cdot\cos x\nl36-48\,\sin^2x+16\,sin^4x=49\,\sin^2x\cdot\cos^2x\nl36-48\,\sin^2x+16\,sin^4x=49\,\sin^2x(1-\sin^2x)\nl36-48\,\sin^2x+16\,sin^4x=49\,\sin^2x-49\,\sin^4x\nl65\,\sin^4x-97\,\sin^2x+36=0$
Teď substituce: $sin^2 x=a$ a dostaneme:
$65a^2-97a+36=0\nla_{1,2}=\frac{97\pm 7}{130}\nla_1=\frac 45\nla_2=\frac{9}{13}$
Vratka k substituci
1) $\sin^2 x=\frac 45\nl\sin x=\pm\frac{2}{\sqrt 5}$
2) $\sin^2 x=\frac {9}{13}\nl\sin x=\pm\frac{3}{\sqrt {13}}$