Matematické Fórum

sportbug · 01. 12. 2009 22:17

mějme nějakou funkci, její Df a její derivaci nalezenou užítím pravidel pro derivování. Nalezená derivace má jísté body ve kterých není definovaná, ale tyto body patří do definičního oboru původní funkce. Platí vždy, že původní funkce nemá v těchto bodech derivaci ?
Díky

u_peg · 01. 12. 2009 22:36

Podla mna to neplati a vtychto bodoch je potrebne zitit derivaciu podla definicie:
$f'(x_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Olin · 01. 12. 2009 22:47

A bavíme se pouze o vlastních derivacích, nebo i o nevlastních?

sportbug · 02. 12. 2009 09:17

vlastních i nevlastních. Je možné zjišťovat derivaci ve zmíněných bodech jako limitu této derivace v bodech, kde není definovaná ?

kaja(z_hajovny) · 02. 12. 2009 12:57

Jak je ten dotaz mysleny? Jak si poradi s funkcema definovanyma jinak, nez jednim explicitnim vzorcem?

Co treba funkce definovana tak, ze beru y(x)=x^2*sin(1/x) pro x nenulove a y(x)=0 pro x=0.

Kdyz "najdu derivaci podle pravidel" tak tam urcite bude nejake 1/x a proto nemuzu polozit x=0.
Presto derivace v nule existuje a da se to ukazat tak jak pise u_peg

u_peg · 02. 12. 2009 13:23

↑ kaja(z_hajovny):
Parada, nadherny priklad. Nedarilo sa mi ziaden vykonstruovat, iba som som tusil, ze to tak je.
Urobil som si cvicenie a dokonca to vyvracia i domienku citujem: "Je možné zjišťovat derivaci ve zmíněných bodech jako limitu této derivace v bodech, kde není definovaná ?"

Ak som sa nezmylil, tak f'(0) = 1 a lim f'(x) pre x iduce k nule neexistuje.

Olin · 02. 12. 2009 13:46 — Editoval Olin (02. 12. 2009 13:51)

V nule je derivace té funkce 0: $\lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin $ \frac 1h$ - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin $ \frac 1h $ = 0$

Jinak existuje taková větička: Buď f spojitá zprava v a reálném. Pokud existuje limita $\lim_{x \to a_+} f'(x)$ , pak $f_+'(a) = \lim_{x \to a_+} f'(x)$

Platí i zleva, takže asi i oboustranně.

u_peg · 02. 12. 2009 14:01

To kazdopadne ano, ale otazka znela takto: Je možné zjišťovat derivaci ve zmíněných bodech jako limitu této derivace v bodech, kde není definovaná?

A to je mozne iba do urcitej miery. Ak to dopadne tak ako v nasom pripade ze limita derivacie neexistuje, tak to nehovori nic o existencii derivacie, ktora ako vidime existuje.

Velmi zaujimava diskusia. :)
Na tu vetu, co spominas (Olin), som uz uplne zabudol.

Este k tej derivacii.

$f(x) = x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)\nl f'(x_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\nl f'(0) = \lim_{h \to 0}\frac{h^2\sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h}= \lim_{h \to 0}h\sin\left(\frac{1}{h}\right)= \lim_{h \to 0}\frac{\sin\left(\frac{1}{h}\right)}{\frac{1}{h}}= 1$

u_peg · 02. 12. 2009 14:02

Coz je kravina, lebo 1/h pre h iduce k nule nejde k nule. Ale kedze h ide k nule a sin je obmedzena funckia teda h*sin(1/h) pre h iduce k nule ide takisto k nule.
Cervenam sa za takuto chybu... :)

sportbug · 02. 12. 2009 19:14

↑ u_peg: Olinova reakce je odpovědí na otázku. Díky!

jestliže je funkce v daném bodě spojitá, je limita derivace funkce v daném bodě, pokud existuje, rovna derivaci funkce v daném bodě.

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2009 22:17

diferenciální počet teoreticky

#2 01. 12. 2009 22:36

Re: diferenciální počet teoreticky

#3 01. 12. 2009 22:47

Re: diferenciální počet teoreticky

#4 02. 12. 2009 09:17

Re: diferenciální počet teoreticky

#5 02. 12. 2009 12:57

Re: diferenciální počet teoreticky

#6 02. 12. 2009 13:23

Re: diferenciální počet teoreticky

#7 02. 12. 2009 13:46 — Editoval Olin (02. 12. 2009 13:51)

Re: diferenciální počet teoreticky

#8 02. 12. 2009 14:01

Re: diferenciální počet teoreticky

#9 02. 12. 2009 14:02

Re: diferenciální počet teoreticky

#10 02. 12. 2009 19:14

Re: diferenciální počet teoreticky

Zápatí