Matematické Fórum

tascoa · 15. 11. 2009 13:55

Dobrý den.

Potřebuji nakopnout s tímto příkladem, nebylo to tu již někde řešené? Nemohu to najít.

Děkuji za pomoc.

Příklad:
Nechť 1 = d1 < d2 < ... < dk = a jsou všichni dělitelé čísla a. Číslo a se nazývá dokonalé, pokud a = d1+d2+...+dk-1. (Příklady: 6=1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14). Dokažte, že pro každé dokonalé číslo a = d1+d2+...+dk-1 platí, že 1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dk = 2.
Návod: Nejdříve si uvědomte, že pokud d dělí a, pak také a/d dělí a.

Doxxik · 15. 11. 2009 14:33 — Editoval Doxxik (15. 11. 2009 14:42)

myslím, že by to mohlo být takto:
Nechť je číslo dokonalé takové číslo a, pro které platí, že součet všech jeho dělitelů je roven 2a (to je to, co jsi napsal výše, jen uvažuji i číslo a jako dělitele sebe sama). Máme dokázat, že součet převrácených hodnot je roven 2.
Když sestavujeme součet převrácených hodnot, dostáváme: $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \dots + \frac{1}{d_{k-1}} + \frac{1}{d_k} = 2$ . Dále si můžeme obě strany rovnice rozšířit o $a$ :
$\frac{a}{d_1} + \frac{a}{d_2} + \dots + \frac{a}{d_{k-1}} + \frac{a}{d_k} = 2a$

všimněme si dále, že číslo dokonalé má sudý počet dělitelů. Dále o nich můžeme prohlásit, že:
$a = d_x * d_{k-x+1}$
upravíme-li si tento vztah, získáváme:
$\frac{a}{d_x} = d_{k-x+1}$
využijeme-li vztah v naší rovnici, získáváme:
$d_{k-1+1} + d_{k-2+1} + d_{k-3+1} + \dots + d_{k-(k-1)+1} + d_{k-k+1} = 2a\nl d_k + d_{k-1} + d_{k-2} + \dots + d_2 + d_1 = 2a$
což je rovno předpokladu, že součet všech dělitelů čísla a je roven 2a

edit: všemi děliteli samozřejmě myslím všechny kladné dělitele

unique · 30. 11. 2009 21:44 — Editoval unique (30. 11. 2009 22:50)

↑ Doxxik:chtěl jsem se zeptat co znamená to dx a x u třetího vzorce. Díky

Zdenek01 · 01. 12. 2009 18:44

↑ Doxxik:

Chci se zeptat jestli se to dá řešit ještě nějakým jiným způsobem, případně jakým. Díky

Zdenek01 · 02. 12. 2009 17:57

Můžete mi prosím někdo vysvětlit tento vztah:

a = d_x * d_{k-x+1}

viz. o tři příspěvky výše. Konkrétně se mi jedná kde na tento vztah přišel případně co v tom vztahu značí d_x a také co značí d_{k-x+1} Předem díky za vysvětlení.

Doxxik · 02. 12. 2009 20:42 — Editoval Doxxik (02. 12. 2009 20:45)

↑ Zdenek01:
odpovídal jsem na mail..

ale kdyby to někdo potřeboval, tak to postnu i sem:

vztah $a = d_x * d_{k-x+1}$ vyjadřuje to, že dokonalé číslo "a" se rovná součinu jeho dvou dělitelů $d_x$ a $d_{k-x+1}$ , kde x značí, kolikátý dělitel to je (tedy: $d_1$ = 1; $d_2$ = 2. dělitel, $d_3$ = 3. dělitel, ... $d_x$ = xtý dělitel ... $d_k$ = ktý dělitel = číslo samo).
- tento vztah popisuje vlastnost dokonalých čísel, díky které je dokonalé číslo součinem takových dvou svých dělitelů, které jsou "stejně vzdáleny od těch prostředních" (omlouvám se za interpretaci.. prostě jak je vidět z toho vzorce, jeden je xtý od začátku (1,2,3,..,x) a druhý je xtý od konce (k, k-1, k-2, .. k-x+1)