Matematické Fórum

Addon · 22. 10. 2009 20:08 — Editoval Addon (22. 10. 2009 20:10)

Dobrý den , mám jeden problém s mnohočleny , nemohu přijít na řešení jedné úlohy :

Dokažte , že pro všechna x∈R a každé přirozené číslo n>1 platí:

x∧n-1=(x-1)((x∧n-1)+(x∧n-2)+...+x∧2+x+1)

Předem děkuji...

zdenek1

↑ Addon:

Jde to např. matematickou indukcí.

pro n=2 je $x^2-1=(x-1)(x+1)$

Předpokládejme, že platí pro $n$
$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x^2+x+1)$

Pak pro $n+1$ je
$n^{n+1}-1=x\cdot x^n-1+x-x=x(x^n-1)+(x-1)=$
$(x-1)[x(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x^2+x+1)+1]=$
$=(x-1)(x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1)$

A je to.

Addon · 22. 10. 2009 20:36

Děkuji , ale ještě bych se rád optal na další 2 úlohy (chci si jen něco ujasnit , protože zítra píšeme písemku):

1) Dokažte , že pro libovolná reálná čísla a,b platí:

(a∧2+ab+b∧2)∧2+(a∧2-ab+b∧2)∧2+(a∧2+ab-b∧2)∧2+(a∧2-ab-b∧2)∧2 = 4(a∧4+(a∧2)(b∧2)+b∧4)

2) Určete mnohočlen, který je nutno přičíst k mnohočlenu (x+y)∧2+r∧2 , abychom dostali mnohočlen (x+y-r∧2).

Zase předem děkuji ...

zdenek1 · 22. 10. 2009 20:43

↑ Addon:

U 1. si to představ takhle
$[(a^2+b^2)+ab]^2+[(a^2+b^2)-ab]^2+[(a^2-b^2)+ab]^2+[(a^2-b^2)-ab]^2$

a podle vztahů $(x\pm y)^2$ to roznásob a posčítej. Neměly by tam být problémy (ale možná to bude dlouhý.

zdenek1 · 22. 10. 2009 20:46

↑ Addon:

Ta dvojka je takhle $(x+y)^2+r^2+P(x,y)=(x+y-r^2)$ ?

nebo takhle $(x+y)^2+r^2+P(x,y)=(x+y-r)^2$

Addon · 22. 10. 2009 20:51

Takhle:
$(x+y)^2+r^2+P(x,y)=(x+y-r^2)$
Mockrát děkuji za radu , snad budu mít 1 :)

zdenek1 · 22. 10. 2009 20:57

↑ Addon:

$P(x,y,r)=x+y-(x+y)^2-2r^2$

To je odpověď, ale učitel by to mohl chtít ještě nějak upravit

martas277 · 02. 12. 2009 20:51

Dobrý den, prosím Vás potřebuji vypočítat tyto příklady i s postupem (nevím si s nimy rady).
Rozložte mnohočleny:

(x+y)^4-x^4 =

(x+y+r)^3-(x+y-r)^3 =

Ivana · 03. 12. 2009 07:16

↑ martas277:

Ivana · 03. 12. 2009 07:28

↑ martas277:

2.

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2009 20:08 — Editoval Addon (22. 10. 2009 20:10)

Mnohočleny

#2 22. 10. 2009 20:25 — Editoval zdenek1 (22. 10. 2009 20:26)

Re: Mnohočleny

#3 22. 10. 2009 20:36

Re: Mnohočleny

#4 22. 10. 2009 20:43

Re: Mnohočleny

#5 22. 10. 2009 20:46

Re: Mnohočleny

#6 22. 10. 2009 20:51

Re: Mnohočleny

#7 22. 10. 2009 20:57

Re: Mnohočleny

#8 02. 12. 2009 20:51

Re: Mnohočleny

#9 03. 12. 2009 07:16

Re: Mnohočleny

#10 03. 12. 2009 07:28

Re: Mnohočleny

Zápatí