Matematické Fórum

Maca · 03. 12. 2009 15:45

Dobrý den, mám následující příklad na limitu: x jde k "oo"

lim (x/x+1)^1-x

udělala jsem: = lim (x+1/x)^x-1

Poradíte mi, prosím, jak dál.
Děkuji.

FailED · 03. 12. 2009 15:56 — Editoval FailED (03. 12. 2009 15:57)

Ahoj,

$\lim_{x \to \infty}$\frac{x+1}{x}$^{x-1}=\lim_{x \to \infty}\[$1+\frac{1}{x}$^{x}\]^{\frac{x-1}{x}}$
pomohlo?

Maca · 03. 12. 2009 16:12

Stydím se, ale nepomohlo. Připadá mi to ještě složitější než to původní zadání :(

To mé počáteční řešení bylo špatně?

Tychi · 03. 12. 2009 16:17 — Editoval Tychi (03. 12. 2009 16:18)

↑ Maca:To je další z tabulkových limit $\lim_{x \to \infty}\[$1+\frac{1}{x}$^{x}\]=e$

FailED · 03. 12. 2009 16:22 — Editoval FailED (03. 12. 2009 16:25)

↑ Maca:
$\lim_{x \to \infty}$1+\frac{1}{x}$^x=\mathrm{e}$ to je vzorec. :)

Proto
$\lim_{x \to \infty}\[$1+\frac{1}{x}$^{x}\]^{\frac{x-1}{x}}=$\lim_{x \to \infty}\mathrm{e}$^{\lim_{x\to\infty} \frac{x-1}{x}}=e^{\lim_{x \to \infty}\frac{x(1-\frac{1}{x})}{x}} = \mathrm{e}$

Edit: jestli je ten první krok nekorektní, prosím opravit, na výsledku to ovšem nic nemění.

Maca · 03. 12. 2009 16:51

Když já pořád nerozumím tomu, jak se došlo k těm mocninám se zlomkem....

$\lim_{x \to \infty}$\frac{x+1}{x}$^{x-1}=\lim_{x \to \infty}\[$1+\frac{1}{x}$^{x}\]^{\frac{x-1}{x}}$

FailED · 03. 12. 2009 16:59 — Editoval FailED (03. 12. 2009 16:59)

↑ Maca:
Jednoduše, víš, že když umocňuješ, exponenty se násobí, jen jsem využil chytré jedničky $\frac{x-1}{1}\cdot\frac{x}{x}=\frac{x(x-1)}{x}=x\cdot\frac{x-1}{x}$

Maca · 04. 12. 2009 16:10

Dobrý den,
$\frac{x-1}{1}\cdot\frac{x}{x}=\frac{x(x-1)}{x}=x\cdot\frac{x-1}{x}$
- to chápu.

$\lim_{x \to \infty}$\frac{x+1}{x}$^{x-1}=\lim_{x \to \infty}\[$1+\frac{1}{x}$^{x}\]^{\frac{x-1}{x}}$
zkoušela jsem dosadit např. "3" a fakt to vyjde. Nicméně jsem se nedopátrala k tomu, jak tu změnu zlomku v kulaté závorce udělat. Ale asi to bude SŠ matika, že? Byli byste, prosím, ochotni mi to vysvětlit?

Jinak pokračování toho $\lim_{x \to \infty}$\frac{x+1}{x}$^{x-1}=\lim_{x \to \infty}\[$1+\frac{1}{x}$^{x}\]^{\frac{x-1}{x}}$

by bylo takto? lim e^((oo - 1/oo) = lim e^1 = e

Moc děkuji za trpělivost.

Maca · 04. 12. 2009 22:18

Dobrý večer,
mohu Vás poprosit pokračovat v řešení příkladu?
Moc děkuji.

jelena · 04. 12. 2009 22:19

↑ Maca:

Zdravím,

rozumím tomu dobře, že potřebuješ upřesnit, jak převest zlomek k zápisu 1+(1/x)? - aby to nevypadalo tak strašné, zkus nejdřív ověřit, co se stané, když se sečte závorka ve výsledku:

$$1+\frac{1}{x}$=\ldots$ došla jsi ke stejnému zápisu jako původní závorka - tedy k tomuto: $$\frac{x+1}{x}$$ .

A teď od začátku: náš cíl je provést takovou povolenou úpravu závorky a mocniny, aby se dala používat tabulková "pozoruhodná" limita, proto:

každý člen v čitateli podělíme jmenovatelem: $$\frac{x+1}{x}$=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}$ a postupujeme:

$\lim_{x \to \infty}$\frac{x+1}{x}$^{x-1}=\lim_{x \to \infty}\[$1+\frac{1}{x}$^{x}\]^{\frac{x-1}{x}}=e^{\lim_{x \to \infty}{\frac{x-1}{x}}=e^0=1$

===========================================================================================

úprava se dá provádět také i v takové trochu strašné formě (bez úvodní práce s převrácením zlomku) - samozřejmě moc smyslu to nemá, ale jako úkazka je to působivá:

$$\frac{x}{x+1}$^{(1-x)}=$\frac{x+1-1}{x+1}$^{(1-x)}=$1+\frac{-1}{x+1}$^{(1-x)}=$1+\frac{1}{(-1)(x+1)}$^{(1-x)}=\ldots$

Další příklady z místních zdrojů.

Je to srozumitelné?