Matematické Fórum

kekekso · 29. 01. 2008 14:37

dobrý deň potreboval by som pomôc? z nasledujúcimi zadaniami -
1, vyšetrite priebeh funkcie
2, vypočítajte súčet radu

pozeral som predchádzajúce témy s touto problematikou ale nič take som nenašiel (mohol som to prehliadnú?)
budem vďačný za akúkoľvek pomoc

robert.marik

ta funkce bez absolutní hodonty: http://wood.mendelu.cz/math/maw/prubeh/ … ko=Odeslat

a absolutní hodnota převrátí to co je pod osou x nahoru.

Marian · 29. 01. 2008 17:38 — Editoval Marian (29. 01. 2008 17:41)

Ta rada, ktera se tady objevila me dost potesila. Abych mohl nejak ale zacit, tak bych potreboval vedet, nakolik umis diferencni rovnice (pozor, ne diferencialni -- to je neco trochu jineho). Protoze navic dneska uz nebudu mit cas (az zitra rano kolem 5:00), tak nastinim, jak to muze vypadat.

1. Snadno plyne (nekolik drobnosti ohledne korektnosti prenechavam zajemci) ze tveho prispevku, ze plati pro kazde prirozene cislo n toto:

$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+32n+16.$

Pokud oznacis $\frac{1}{a_n}=:b_n$ , pak mame po drobne uprave predchoziho diferencni rovnici

$b_{n+1}-b_n=32n+16.$

2. Tuto rovnici vyresis a dostanes

$b_n=b_0+16n^2.$

Protoze ale $b_1=\frac{1}{a_1}=12$ , mas snadno konstantu $b_0=-4$ .

3. Tedy je celkem jiz

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{16n^2-4}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{8}.$

Ta rada se da secist teleskopickou metodou. Ale stacilo by trochu lepe vybrat pocatecni podminku pro posloupnost {a_n} a byla by to uloha o neco hezci.

Tak snad jsem napomohl k reseni.

PS: Co je to za skolu, ze vam tam davaji takove "radostne" ulohy ...?

kekekso · 29. 01. 2008 17:52

robert.marik napsal(a):
...absolutní hodnota převrátí to co je pod osou x nahoru.

no to mi moc nepomohlo keďže ja viem ako vypada ten graf... ja ale hlavne potrebujem akým spôsobom sa vyšetruje priebeh ak je tam tá absolutna hodnota - tzn. monotonnost, extrémy, konvexnos?/konkávnos? ...

Marian napsal(a):
...nakolik umis diferencni rovnice...

bohužiaľ ale pojem diferenčné rovnice mi nič nehovorí... (pozeral som naše skriptá, všetky prednášky,...) ale s týmto som sa nestretol a som si na takmer 100% že sme to ani nepreberali... nejakým iným spôsobom sa to nedá ?

Marian · 29. 01. 2008 17:54

Ale ano.

Rekl bych, ze nejjednodussi cesta povede pres uplnou matematickou indukci.

robert.marik · 29. 01. 2008 18:44

↑ kekekso:
No já moc nevěřím že by po vás chtěli abyste derivovali absolutní hodnotu. Pokud nejste matfyz, což asi ne. Já bych jako nejsnazší cestu viděl, vyšetřovat to bez té absolutní hodnoty a potom to převrátit.

kekekso

robert.marik napsal(a):
↑ kekekso:
No já moc nevěřím že by po vás chtěli abyste derivovali absolutní hodnotu. Pokud nejste matfyz, což asi ne. Já bych jako nejsnazší cestu viděl, vyšetřovat to bez té absolutní hodnoty a potom to převrátit.

ani nie derivovat absolutnu hodnotu, ale tam sa to robí nejako ze sa ta funkcia rozdeli a potom robím priebeh pre 2 funkcie ktoré potom spojím do grafu (alebo ake niečo) ale fakt netuším ako na to (isto viem ze keby som to robil bez absolutnej a potom prevratil tak mi to neuznajú)
a matfyz niesom ale informatika

robert.marik · 29. 01. 2008 20:12

vyřešte nerovnici $x^2-2<0$

Pro ta x, která patří do množiny řešení zkoumejte funkci $\frac{2-x^2}{x^2+3}$ , pro ostatní x jenom vyechejte absolutní hodnotu. Funkce se liší jenom násobkem číslem -1, takže nemusíte derivace počítat dvakrát.

Marian · 30. 01. 2008 05:31 — Editoval Marian (13. 02. 2008 12:48)

Dokazu nejprve, ze clen $\frac{1}{a_n}$ , ktery oznacim pro jednoduchost jako $b_n$ , se da vyjadrit pro vechna prirozena cisla n tak, jak jsem psal vyse.
__________________________________________________________________________________________

Z pocatecni podminky $a_1=\frac{1}{12}=\frac{1}{b_1}$ mame $b_1=12=16-4=4^2-4$ . Podobne se spocita hodnota b_2 nebo obecne b_i. Lze u toho velice vyhodne pouzit to, co jsem uvadel vyse, tedy vztah (mirne upraveny oproti tomu vyse ...)

$b_{n+1}=b_n+32n+16,\qquad\forall n\in\mathbb{N}.$

Proto

Budeme tedy induktivne predpokladat, ze clen $b_n$ se da obecne vyjadrit ve tvaru

$I.P.\qquad\boxed{b_n=(4n)^2-4},$

pro vsechna prirozena cisla az do nejakeho konkretniho fixniho n.
Uz jsme overili zaklad indukce, tedy platnost I.P. pro n=1, 2, 3. Nyni k indukcnimu kroku. Podle I.P. lze napsat

$b_{n+1}=b_n+32n+16=(4n)^2-4+32n+16=16n^2+32n+12=16n^2+32n+16-4=16(n^2+2n+1)-4,\nl b_{n+1}=(4(n+1))^2-4.$

To je ale skutecne induktivni predpoklad, ve kterem nahradime n vyrazem n+1. Tedy pro vsechna prirozena cisla n plati

$b_n=(4n)^2-4$ .

To je ale ekvivalentni s tim, ze pro vsechna prirozena cisla n plati

$a_n=\frac{1}{b_n}=\frac{1}{(4n)^2-4}=\frac{1}{4(2n-1)(2n+1)}.$

Proto plati

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{4}\lim_{k\to\infty\atop k\in\mathbb{N}}\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\nl \frac{1}{4}\lim_{k\to\infty\atop k\in\mathbb{N}}\sum_{n=1}^{k}\left (\frac{\frac{1}{2}}{2n-1}-\frac{\frac{1}{2}}{2n+1}\right )= \frac{1}{8}\lim_{{k\to\infty\atop k\in\mathbb{N}}}\sum_{n=1}^{k}\left (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right )=\nl \frac{1}{8}\lim_{k\to\infty\atop k\in\mathbb{N}}\left (1-\frac{1}{2k+1}\right )=\boxed{\frac{1}{8}}.$