Matematické Fórum

Asinkan · 04. 12. 2009 10:34

Ahoj, jak zintegruju $\int x^3 e^{x^2}dx$ ? dik

Kondr · 04. 12. 2009 10:59

Odhadneme, že výsledek bude obsahovat $e^{x^2}$ krát nějaký polynom. Když derivujeme $x^ne^{x^2}$ dostaneme
$nx^{n-1}e^{x^2}+2x^{n+1}e^{x^2}$ . Aby nám nevyskákaly u x exponenty větší než 3, stačí volit n od 0 do 2, dostáváme tak
$2xe^{x^2},e^{x^2}+2x^2e^{x^2},2xe^{x^2}+2x^3e^{x^2}$ . Jejich lineární kombinací máme požadované.

Pavel · 04. 12. 2009 11:17

↑ Asinkan:

substituce $x^2=y$ a pak per partes.

Rumburak · 04. 12. 2009 11:18

Nebo také substitucí $x^2 = y,\,\, 2x\text{d}x =\text{d}y$ :

$\int x^3 \,\text{e} ^{\,x^2}\text{d}x=\frac{1}{2}\int x^2 \,\text{e}^{\,x^2}\cdot 2x\text{d}x = \frac{1}{2}\int y \,\text{e}^{\,y}\text{d}y$ a dále per partes.

Asinkan

Nebo sem to vyřešil $\int x^3 e^{x^2}dx=\int x^2\cdot x e^{x^2}dx$ a perpartes, ale zajímalo by mě, jak to myslel Kodr. Neznam ani souřadnice řešení, ani jak to řešení vypadá, tak jak udělam tu LK ?

Rumburak

Kolega Kondr měl patrně na mysli metodu neurčitých součinitelů:
Z "předpokládaných" funkcí F, G, H sestrojíme jejich lineární kombinaci L = aF + bG + cH s neznámými koeficienty a, b, c.
Tyto koeficienty pak dopočítáme z rovnic, které obdržíme porovnáním derivace funkce L s integrandem.

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2009 10:34

Integrál

#2 04. 12. 2009 10:59

Re: Integrál

#3 04. 12. 2009 11:17

Re: Integrál

#4 04. 12. 2009 11:18

Re: Integrál

#5 04. 12. 2009 13:47 — Editoval Asinkan (04. 12. 2009 13:48)

Re: Integrál

#6 04. 12. 2009 15:20 — Editoval Rumburak (04. 12. 2009 15:20)

Re: Integrál

Zápatí