Matematické Fórum

martanko · 04. 12. 2009 23:01

najdi rozklad polynomu k(x)=x^3+2 nad R

moje riesenie:
$x^3=-2$
$|z|=\sqrt{(-2)^2+0^2}=2$
$\cos \varphi =-1$
$\sin \varphi = 0$ z tychto rovnosti plati ze uhol je $\varphi = \pi$

potom vyjadrime riesenia:

$k=0, x_1= \sqrt[3]{2} \left( cos {\frac{\pi}{3}} + i sin {\frac{\pi}{3}} \right)$
$k=1, x_2= \sqrt[3]{2} \left( cos {\frac{\pi+2 \pi}{3}} + i sin {\frac{\pi +2 \pi}{3}} \right)$
$k=2, x_3= \sqrt[3]{2} \left( cos {\frac{\pi+4 \pi}{3}} + i sin {\frac{\pi +4 \pi}{3}} \right)$

no potom som premyslal ako z tohto dostanem ten rozklad polynomu a ma trklo ze vlastne $k=1, x_2= \sqrt[3]{2} \left( cos {\frac{\pi+2 \pi}{3}} + i sin {\frac{\pi +2 \pi}{3}} \right)$ znamena, ze realny koren je $(x- \sqrt[3]{2}) =0$
tak som predelil polynom $x^3+2=0$ polynomom $(x- \sqrt[3]{2}) =0$ a vyslo mi
$x^2 - \sqrt[3]{2}x + \sqrt[3]{4}$ kedze to ma byt nad $R$ premyslam ze ako dostanem z tych korenov x_1 a x_3 tento polynom.. kludne by som mohol mat binomicku rovnicu ze $x^5+335=0$ ...tam by som vobec netusil ako urobit ten rozklad polynomv nad R. Vie niekto poradit ako z korenov x_1 a x_3 dostanem $x^2 - \sqrt[3]{2}x + \sqrt[3]{4}$ ?

martanko

hm tak neviem ci je to iba nahoda no vyslo mi nieco.. ked si pi premenim na normalne hodnoty a vynasobim x_1 s x_3 potom $\sqrt[3]{2} \left( \frac{1}{2} +i \frac{\sqrt3}{2} \right) \cdot \sqrt[3]{2} \left( \frac{1}{2} -i \frac{\sqrt3}{2} \right)$ tak dostanem $\sqrt[3]{4}$ co vyzera byt na posledny clen toho polynomu...je to len nahoda?

Kondr · 05. 12. 2009 02:29

Řešme
$x^5+243=0$
Vyjde $x\in\{-3,a,b,\overline{a},\overline{b}\}$ , kde a,b jsou nějaká komplexní čísla. Rozklad nad C je
$(x+3)(x-a)(x-\overline{a})(x-b)(x-\overline{b})$ . Roznásobením závorek, v nichž jsou sdružené kořeny, máme
$(x+3)(x-2Re(a)+|a|^2)(x-2Re(b)+|b|^2)$ , což je kýžený rozklad nad R.

Analogicky u té rovnice třetího stupně stačilo vynásobit $(x-x_1)(x-x_3)$ a dostal bys ten kvadratický polynom. Proto ta "náhoda" s posledním koeficientem. Je předpokládám jasné, jak tento postup zobecnit pro vyšší stupně.

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2009 23:01

x^3+2=0

#2 04. 12. 2009 23:18 — Editoval martanko (04. 12. 2009 23:19)

Re: x^3+2=0

#3 05. 12. 2009 02:29

Re: x^3+2=0

Zápatí