Matematické Fórum

Matik · 07. 12. 2009 09:28

Mohl bych požádat o pomoc:
Najděte všechna prvočísla, která jsou o 1 menší než třetí mocnina nějakého čísla.
dekuji

Matik · 07. 12. 2009 09:31

jeste jednu pomoc:
Dokažte, že sudá dokonalá čísla mají v binárním zápise více jedniček než nul.

halogan · 07. 12. 2009 11:37

Nechť p je to prvočíslo a n to druhé číslo. Platí
$p = n^3 - 1 = (n-1) \cdot (n^2 + n + 1)$

Naše prvočíslo se tedy rovná součinu nějakých celých čísel. A co víme o prvočíselném rozkladu prvočísla?

Kondr · 07. 12. 2009 11:46

↑ Matik: http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number

halogan · 07. 12. 2009 11:49

O dokonalých číslech jsem ještě před pěti minutami nic nevěděl a binární matematika je mi celkem cizí, takže toto bude jen nástřel:

Podívej se na binární zápis mocnin dvojky. A pak na zápis dokonalého čísla.

Matik · 08. 12. 2009 17:47

děkuji, ale nějak mi to nepálí asi:
prvočíselný rozklad prvočísla? mno, prvočíslo lze rozložit pouze na součin sebe sama a 1, to říká přímo definice.
rozložil jsi nějaký polynom na součin dvou polynomů. ja si zkoušel dosadit první přirozená čísla, střídalo se, která závorka vyšla tím prvočíslem, u 7 dokonce vyšel součin dvousložených čísel.
mohu požádat ještě o jednu nápovědu a snad poté už se mi rozsvítí. dík

halogan · 08. 12. 2009 18:17

Je to součin dvou polynomů, přesně tak. A jeden z nich musí být 1, druhý právě to prvočíslo. Stačí tedy zjistit, kdy jeden z nich bude 1 a podívat se na hodnotu toho druhého. Snad.

Jasné?

FailED · 08. 12. 2009 18:21

↑ Matik:
Jak říkáš, prvočíslo p lze napsat jako součin přirozených čísel jedině jako 1*p, proto pro prvočíslo $p = n^3 - 1 = (n-1) \cdot (n^2 + n + 1)$ musí platit že jeden z činitelů je roven 1.
Teda pokud $\small{n\in\mathbb{N}}$

Matik · 08. 12. 2009 18:59

....fiha ... a jsem v koncich ...

Kondr · 08. 12. 2009 19:05

↑ Matik:S prvním nebo druhým příkladem? Co víc můžeme udělat? Víc než jak to rozepsal FailED už to nejde.

Matik · 08. 12. 2009 19:35

s prvnim
kdyz si dosadim dvojku za n, tak ho naleznu
ale
kdyz si dosadim treba za n = 4
dostanu součin 3.13

halogan · 08. 12. 2009 20:17

Ale pro čtyřku není ani jeden z činitelů roven jedné.

Matik · 08. 12. 2009 20:31

mno prave, takze nevim co odpovedet, ze tomu odpovida jen cislo n = 2 ?

Kondr · 08. 12. 2009 20:46

↑ Matik: Přesně tak.

halogan · 08. 12. 2009 21:10

↑ Matik:

No ještě musíš dokázat, že je jediné.

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2009 09:28

Prvočísla

#2 07. 12. 2009 09:31

Re: Prvočísla

#3 07. 12. 2009 11:37

Re: Prvočísla

#4 07. 12. 2009 11:46

Re: Prvočísla

#5 07. 12. 2009 11:49

Re: Prvočísla

#6 08. 12. 2009 17:47

Re: Prvočísla

#7 08. 12. 2009 18:17

Re: Prvočísla

#8 08. 12. 2009 18:21

Re: Prvočísla

#9 08. 12. 2009 18:59

Re: Prvočísla

#10 08. 12. 2009 19:05

Re: Prvočísla

#11 08. 12. 2009 19:35

Re: Prvočísla

#12 08. 12. 2009 20:17

Re: Prvočísla

#13 08. 12. 2009 20:31

Re: Prvočísla

#14 08. 12. 2009 20:46

Re: Prvočísla

#15 08. 12. 2009 21:10

Re: Prvočísla

Zápatí