Matematické Fórum

Wosush · 04. 12. 2009 20:50

Daná je funkce $f(x)=(x^2+5x-8)^{100} \cdot x^5$ . Pokud závorku umocníme a roznásobíme, nabývá funkce f tvar $f(x)=a_{205} \cdot x^{205}+a_{204} \cdot x^{204}+...+a_1 \cdot x+a_0$ , kde koeficienty jsou nějaké celá čísla.
a) Určete součet všech koeficientů $a_{205} \cdot x^{205}+a_{204} \cdot x^{204}+...+a_1 \cdot x+a_0$ .
b) Určete součet koeficientů $a_{204}+a_{202}+...+a_2+a_0$ .
c) Určete součet koeficientů $a_{205}+a_{203}+...+a_3+a_1$ .

Vubec nevim co s tim mam delat. Kdyz dospejete k nejakym vysledkum, mohli by jste mi vysvetlit jak ste k nim prisli? Diky moc.

plisna · 04. 12. 2009 20:54

↑ Wosush: treba pomuze http://en.wikipedia.org/wiki/Trinomial_expansion

Wosush · 05. 12. 2009 14:21

↑ plisna:
Nedalo by se to vyřešit nějak jinak? Protože, pokud si dobře pamatuji, trinomický rozvoj jsme ještě nebrali.

jelena · 05. 12. 2009 23:28

↑ Wosush:

Zdravím,

je to jen nápad: uvažuji, že možná jednodušší bude odmyslit x^5 v zápisu rozvoje (vytkneme x^5), jelikož na koeficienty a_n v rozvoji nemá x^5 vliv, dostaneme tento zapis:

$x^5$a_{205} \cdot x^{200}+a_{204} \cdot x^{199}+..a_5+\frac{a_4}{x}+\frac{a_3}{x^2}+\frac{a_2}{x^3}.+\frac{a_1}{x^4}+\frac{a_0}{x^5}$$

Posledních pět členů rozvoje mají nulový koeficient: $$\frac{a_4}{x}+\frac{a_3}{x^2}+\frac{a_2}{x^3}.+\frac{a_1}{x^4}+\frac{a_0}{x^5}$$

Proto bych se zaměřila na rozvoj pouze této závorky: $(x^2+5x-8)^{100}=(a_{205} \cdot x^{200}+a_{204} \cdot x^{199}+..a_5)$ a použila bych poučku od kolegy Kondra - věta c) Pomni:...zde, na závěr příspěvku.

Je možné, že někdo z kolegů navrhne něco více zajimavého, děkuji za případnou kritiku.

Pavel · 07. 12. 2009 10:39 — Editoval Pavel (07. 12. 2009 10:45)

↑ jelena:

ad a) Součet koeficientů v polynomu $f(x)$ lze spočítat snadno jako $f(1)$ ,

$f(x)=a_{205}x^{205}+\dots+a_1x+a_0\qquad\Rightarrow\qquad f(1)=a_{205}+\dots+a_1+a_0$

ad b) Protože platí, že

$f(1)=a_{205}+a_{204}+a_{203}+\dots+a_2+a_1+a_0\nl f(-1)=-a_{205}+a_{204}-a_{203}+\dots+a_2-a_1+a_0$

je jednoduché spočítat kýžený součet

$\frac{f(1)+f(-1)}2=a_{204}+a_{202}+\dots+a_2+a_0.$

ad c) Stejně jako v případě b), ale tentokrát stačí obě funkční hodnoty odečíst. Tj.

$\frac{f(1)-f(-1)}2=a_{205}+a_{203}+\dots+a_1.$