Matematické Fórum

SUK · 07. 12. 2009 19:22

Zdravim vas tu vsechny,
snazim se dnes nejak dostat do formy, co se tyce limit posloupnosti...
Jako prvni takovej zaklad - spocitani (ne)vlastni limity (v pripade posloupnosti (realne) samozrejme v +inf, jinde to snad nema smysl).
Tak si vyberu nejakou jednoduchou limitu:
$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n = \frac{n}{n+1}$

Z definice vim, ze posloupnost a[n] ma limitu a prave kdyz $\forall\varepsilon>0 \exists n_0\in\mathbb{R} \forall n> n_0 : |a_n - a| < \varepsilon$ .
Celkem jasne vidim, teda chci rict odhadnu, ze limita bude a = 1, a hodlam vyzkouset, zda teda plati, ze $|\frac{n}{n+1} - 1| < \varepsilon$
A v tuhle chvili skutecne nevim, co s tim udelat dalsiho. Vim jen, ze to chce nejak vyjadrit si cosi jako n > [[cosi]], jenze jak? (trosku me tam desi ta absolutni hodnota - prece se ji nezbavim "jen tak", nebo jo?).

A i kdyby se mi to podarilo upravit, resil jsem to samozrejme i s jednodussi limitou, konkretne $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{x^2} = 0$ a po nejakych upravach jsem dosel k tomu, ze jsem si zvolil $n_0 = \frac{1}{\varepsilon^2+1}$ a tim padem $n > n_0 > \varepsilon$ - coz jsem vlastne jen opsal z PDFek cviciho. No, a z tohodle ma vlastne vyplyvat, ze ona limita skutecne existuje a je rovna nule. Rict to u zkousky, napsat do pisemky, asi bych dostal plnej pocet bodu. Ale to mi nestaci, rad bych vedel proc... Kdyz $\frac{1}{\varepsilon^2} < n$ , jak muze byt $n > \varepsilon \forall \varepsilon, n > n_0$ ?

Tohle by byly prozatim moje dva trapny dotazy, udelate mi obrovskou radost, kdyz mi to nejak rozume vysvetlite. V patek pisu opravnou pisemku, na skole se mi libi a odchazet nechci, samotna matematicka analyza se mi taky libi - ale jen kdyz to chapu. Je to pro me docela sok, zmena oproti stredoskolskym vyukovym metodam... Tak dekuju za pripadny odpovedi... (a to jsem se puvodne registroval, ze tu trebas nekomu poradim :( )

u_peg · 07. 12. 2009 19:54

$\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \left|\frac{n - (n + 1)}{n + 1}\right| = \left|\frac{-1}{n + 1}\right|$
n je prirodzene, teda n + 1 > 0 pre kazde n. Teda plati:
$\left|\frac{-1}{n + 1}\right| = \frac{1}{n + 1}$
$\frac{1}{n + 1} < \varepsilon\nl \frac{1}{\varepsilon} - 1 < n$

Pavel · 07. 12. 2009 20:01

↑ SUK:

Zvolíš si fixní $\varepsilon$ a cílem je najít takové $n_0$ , že pro všechny větší indexy $n$ je $\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| < \varepsilon$ . Stačí tedy upravovat.

$\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| < \varepsilon\nl \left|\frac{-1}{n+1}\right|<\varepsilon$

$|-1|=1$ a $n+1$ je vždy kladné, proto $|n+1|=n+1$ . Pak

$\frac{1}{n+1}<\varepsilon\nl \frac 1{\varepsilon}<n+1\nl \frac 1{\varepsilon}-1<n\nl \frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}<n.$

Proto stačí vzít $n_0$ jako nejmenší přirozené číslo větší než $\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}$ . Pro $n>n_0$ bude nerovnost tím spíš platit a obracenými úpravami dostaneš původní nerovnici. Takže jsme pro každé kladné $\varepsilon$ našli takové $n_0$ , že pro $n>n_0$

$|a_n - a| < \varepsilon$ .

SUK · 07. 12. 2009 21:51

Fakt diky moc za vysvetleni, chapu to zase o trosku lepe ale stale nic moc.... v pripade, kdyz bych odhadnul onu limitu spatne (ci by neexistovala), poznam to jak? Zkusil jsem pro stejnou posloupnost spocitat, jako ze to je 0 a dosel jsem k necemu, z cehoz nedokazu stvorit nerovnici tak, aby na jedne strane bylo samotne n.

Pavel · 08. 12. 2009 09:04

↑ SUK:

Kdybys předpokládal, že limita je 0, pak by Ti pro pevné $\varepsilon$ (blízké 0) vyšlo

$\left|\frac{n}{n+1} - 0\right| < \varepsilon\nl \left|\frac{n}{n+1}\right|<\varepsilon\nl \frac{n}{n+1}<\varepsilon\nl n<\varepsilon n+\varepsilon\nl n(1-\varepsilon)<\varepsilon\nl n<\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}.$

Takže ta původní nerovnost by platila pro všechny indexy $n$ menší než $\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}$ , ale těch je jen konečně mnoho. A to je ve sporu s definicí limity, poněvadž ta nerovnost musí platit pro všechna "dostatečně velká" n od jistého $n_0$ počínaje.

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2009 19:22

Limita posloupnosti, "spocitani" z definice

#2 07. 12. 2009 19:54

Re: Limita posloupnosti, "spocitani" z definice

#3 07. 12. 2009 20:01

Re: Limita posloupnosti, "spocitani" z definice

#4 07. 12. 2009 21:51

Re: Limita posloupnosti, "spocitani" z definice

#5 08. 12. 2009 09:04

Re: Limita posloupnosti, "spocitani" z definice

Zápatí