Matematické Fórum

Jan Jícha

Zdravím, mám pár úloh a potřeboval bych je zkontrolovat. Nejsem si jist výpočty. Dík.

Zvětší-li se počet prvků o 1, zvětší se počet kombinací 3 třídy o 21
n = ?
${n \choose k} = {n+1 \choose k}-21$
$\frac{n!}{(n-3)!\cdot 3!}=\frac{(n+1)!}{(n-2)!\cdot 3!}-21$
$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!\cdot 3!}=\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)!}{(n-2)!\cdot 3!}-21$
$\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}=\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3!}-21$
$n^3-3n^2+2n=n^3-n-126$
$0=3n^2-3n-126$
$0=n^2-n-42$
$0=(n-7)(n+6)$
$\rightarrow n=7$
$P: n\in N \wedge n \geq 3$

A ještě jedna

Kolik máme dáno prvků, jestliže variací 3 třídy bez opak. je 10x víc, než variace bez opak. 2 třídy?

${n \choose k_1}={n \choose k_2}\cdot 10$
$\frac{n!}{(n-3)!}=\frac{n!}{(n-2)!}\cdot 10$
$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}$
$n(n-1)(n-2)=n(n-1)\cdot 10$
$\frac{n(n-1)(n-2)}{n(n-1)}=10$
$n-2=10$
$n=12$

$P:n \in N \wedge \geq 3$

Děkuji.

Edit: Děkuji, hlavně, že je to dobře.