Matematické Fórum

nitr0 · 08. 12. 2009 22:34

zdravim

takze teraz si neviem rady s dvoma indukciami a prosim o pomoc:

1, najst najmensie prirodzene cislo a dokazat pre vsetky vacsie ze plati:
$n!>3_n$

2.dokazte ze plati pre vsetky n>=1

$\frac{1}{2n}<=\frac{1*3*5...(2n-1)}{2*4...(2n)}$

vdaka za rady

lukaszh · 08. 12. 2009 23:32

↑ nitr0:
$\forall n\ge7\,:\;3^n\,<\,n!$
Pre n=7 platí. Predpoklad platnosti pre k. Odvodzujeme pre k+1

Z predpokladu je $3^k\,<\,k!$ . Stačí teda ukázať, že
$k!\,<\,\frac{k+1}{3}\cdot k!$

nitr0 · 09. 12. 2009 00:17

dakujem

Wotton · 09. 12. 2009 09:19

Ten druhej se samozřejmě dá dokázat indukcí, ale říkal jsem si, že by moh jít dokázat i rovnou, a jo:
pro n=1 to samozřejmě platí, takže můžem uvažovat $n\geq 2$
$\frac{1}{2n}\leq\frac{1*3*5*\dots*(2n-1)}{2*4*\dots*(2n)}\nl \frac{2*4*\dots*(2n)}{2n}\leq 1*3*5*\dots*(2n-1)\nl \frac{2*4*\dots*(2n)}{2n}\leq 3*5*\dots*(2n-1)\nl 2*4*\dots*(2n-2)\leq 3*5*\dots*(2n-1)\nl \prod_{i=2}^n2i-2\leq\prod_{i=2}^n2i-1$
Záverečná nerovnost zjevně platí pro každé n > 1.

nitr0 · 09. 12. 2009 11:06

no hey lenze mame za ulohu to dokazat indukciou preto si s tym neviem rady

Wotton · 09. 12. 2009 11:43

no dobře, tak indukcí:-(

Upravím si to na $1\leq\frac{1*3*5*\dots*(2n-1)}{2*4*\dots*(2n-2)}$ pro n=2 to platí (n=1 uvažovat nebudu, protože to po této úpravě nedává moc smysl, ale to zjevně platí taky).
Nyní si označím $a_n=\frac{1*3*5*\dots*(2n-1)}{2*4*\dots*(2n-2)}$ nechť $1\leq a_n$ , nyní $a_{n+1}=a_n\frac{2n+1}{2n}$ Protože pro každé $n\geq 1$ platí $1\leq\frac{2n+1}{2n}$ tak $a_{n+1}\geq 1$