Matematické Fórum

makry · 10. 12. 2009 17:58

ahoj, potřebovala bych pomoct s tímto příkladem.: ukažte, že diferenciální rovnice ly" + g sin y = 1 je pohybová rovnice kyvadla, pokud l je délka kyvadla, g je gravitační zrychlení a vnější síly zanedbáváme.

S tímto příkladem jsem se ještě nikdy nesetkala. Prosím o pomoc s jeho výpočtem:-(děkuji

Rumburak

Předpokládám, že má jít o matematické kyvadlo, tj. hmotný bod upevněný na nehmotném závěsu.
Na kyvadlo působí gravitační síla $G = -mg$ (g je velikost tíhového zrychlení, znaménko minus ve vzorci říká, že síla působí směrem dolů).
Pokud je kyvadlo ve svislé poloze, tato síla pouze napíná závěs.
Označme $x$ orientovanou výchylku kyvadla (měřenou na oblouku kužnice) od svislé polohy. Této výchylce odpovídá středový úhel $\phi = \frac {x}{l}$ (v obloukové míře).
Je-li výchylka kyvadla nenulová, síla G se rozkládá do dvou složek. Jedna z nich je ta, která nadále napíná závěs, druhá - označme ji F - je kolmá k závěsu
a má na kyvadlo danamický účinek (při pohybujícím se kyvadle leží v tečném směru ke dráze kyvadla). Pomocí náčrtku snadno nahlédneme, že
$F = G\,\sin\, \phi= -mg \,\sin \,\frac{x}{l}$ . Tato síla podle Newtonova zákona síly uděluje kyvadlu zrychlení $x'' = \frac {F}{m} = -g \,\sin \,\frac{x}{l}$ , což dává pohybovou rovnici
$x'' + g \,\sin \,\frac{x}{l} = 0$ , kteroužto můžeme substitucí $x = ly$ převést na $ly'' + g \,\sin \,y = 0$ (VPRAVO JE NULA !!!), vlastně píšeme $y$ místo $\phi$ .

makry · 11. 12. 2009 11:45 — Editoval makry (11. 12. 2009 11:47)

↑ Rumburak:
Děkuji moc za tvoji pomoc. S tou nulou na konci máš pravdu, já se jsem se bohužel překlikla a místo 0 jsem tam dala 1.
Moc bych tě ještě chtěla poprosit s pomocí u tohoto příkladu: Určete délku l kyvadla tak, aby jeden kmit trval vteřinu. (Pro malou amlitudu můžete nahradit sin y ~ y a řešit linerární DR.)

Rumburak

↑ makry:
Rovnici $ly'' + g \,\sin \,y = 0$ nahradíme (pro malé amplitudy) rovnicí $ly'' + gy = 0$ a tu upravíme na

(1) $y'' + Py = 0$ , kde $P = \frac {g}{l} > 0$ .

To je lineární obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu a teorie těchto rovnic říká, že obecné reálné řešení rovnice (1) lze vyjádřit ve tvaru
$y(t) = A \,\sin (\omega t + \Psi)$ , kde $t$ je čas, $A, \Psi$ integrační konstanty (které závisejí na dalších - počátečních či okrajových - podmínkách úlohy),
přičemž $\omega = \sqrt {P} = \sqrt {\frac {g}{l}}$ .
Odtud plyne, že jde o pobyb periodický, jehož nejmenší časová perioda (doba kmitu) $T$ vyhovuje rovnici $\omega T = 2\pi$ , tedy $T = \frac {2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt {\frac {l}{g}}$ .
Z posledního vztahu snadno vyjádříme $l = l(T)$ .