Matematické Fórum

Zdravím, v jednom vedlejším vlákně se řeší iracionalita odmocniny ze 3. Našel jsem (při poklízení a chystání k ekologické recyklaci) zajímavý důkaz toho, že odmocnina z dvojky je iracionální. Tak  jsem se pocvičil v psaní, a přepsal jsem vám to sem.  (Denis Guedj, Papouškův teorém)
-----------------------

"Když jste včera tvrdil, jak snadný je důkaz že odmocnina ze 2 je iracionální číslo, to jste si pěkně vymýšlel."

"Nic jsem si nevymýšlel," pan Ruche se málem zakuckal. "řekl jsem, že se povídá, že je snadný."

Na úpravné bílé košili se mu rozpíjely dvě pořádné kaňky vína.

"Nepřímý důkaz, že odmocnina ze 2 je iracionální číslo", oznámila Lea halasně a přivlekla do jídelny Maxovu tabulku z první třídy.

"Předpokládejme, že existuje zlomek a/b, jehož druhá mocnina je rovna 2", zašeptal Jonathan a se spikleneckým pohledem  se naklonil o obecenstvu.

"Takže a^2/b^2=2," navázala Lea a psala na tabulku.

"Vezměme nejmenší zlomek, nedělitelný zlomek, který má tento tvar. Jeho členy jsou navzájem prvočísla. To znamená, že nejsou dělitelná současně týmž číslem."

"Tudíž a a b nemohou být současně sudá, na tom trvám!" prohlásila zasvěceně Lea.

"A jestliže a^2/b^2=2, pak zcela přirozeně a^2=2b^2."

"A a^2 je sudé číslo, protože je rovno dvojnásobku," oznámila zas Lea.

"Jenže sudá je jenom mocnina sudého čísla," informoval je Jonathan a vrhl kradmý pohled na matku.

"A proto je a sudé číslo, na tom trvám!"

"Takže a je dvojnásobek. Třeba čísla c, například a=2c." Teď psal na tabulku Jonathan.

"Ne tak rychle," zvolal pan Ruche, aby to vypadalo, že je pořád sleduje.

"Vraťme se k rovnosti ze začátku: a^2=2b^2. Za a dosadime 2c. (2c^2)=2b^2. Takže 4c^2=2b^2, neboli 2c^2=b^2."

"A protože b^2 je rovno dvojnásobku ..."

"Drápete jako kocouři, já mám přece vynikající zrak", reptal pan Ruche.

"Takže si to zrekapitulujeme," oznámil Jonathan: "Je-li b^2 rovno dvojnásobku, je b^2 sudé číslo."

"To samé co předtím! Takže b je tudíž sudé, na tom trvám."

"Zrekapitulujme si ti tři 'na tom trvám', které představují důkaz per absurdum. Na jednu stranu a a b nemohou být obě zároveň sudá, na druhou stranu obě sudá jsou! Nemožné! Co je příčinou této absurdity?" Otázal se Jonathan a upřel na posluchače pohled inkvizitora.

Vidět je, jak se nadchli pro matematický důkaz! Zázrak! Perretta a pan Ruche se na sebe podívali a jeden druhého se nemě ptal: Vidíš to, co vidím já? Slyšíš to, co slyším já?

Údiv obou dospělých dělal Maxovi náramnou radost. Byl na dvojčata moc pyšný.

"Co je příčinnou této absurdity?" naléhal Jonathan.

"Moje hypotéza," přiznala Lea a kajícně sklopila hlavu.

"Zopakujte ji, tu vaši nesprávnou hypotézu!" velel Jonathan.

"Existuje zlomek, jehož druhé mocnina se rovná 2," zakoktala tedy Lea.

"Pryč s ní!" zařval Jonathan.

Popadli vidličky a yačali s nimi ťukat o skleničky jako včera večer Max do pythagorejských váz. V rytmu reggae spustili

A je to!
A je to!
Odmocniny z dvojky,
hrůza, nemaj zlomky.
Ach ouvej!
Ach ouvej!



--------------
Poznámky:

* navzájem prvočísla - asi doslovný překlad z angličtiny, míní se tím nesoudělná čísla.