Matematické Fórum

leník 5 · 11. 12. 2009 19:33

Prosím, dělá mně potíže tento příklad:

Koule o poloměru $r$ je osvětlena z bodu, jehož vzdálenost od středu koule je $a$ . Určete velikost osvětlené plochy a její poměr k ploše neosvětlené. $a>r$ Výsledek je: $S=2\pi{r^2}\frac{a+r}{a}$ $\frac{S}{S'}=\frac{a-r}{a+r}$ Vypočítala jsem Pythagorovou větou stranu rotačního kužele,/myslím si, že z toho vznikne/ a dosadila jsem to do vzorce obsahu kužele, jenže jsem to nedopočítala, s tou odmocninou si nevím rady.

Prosím, poradíte?

marnes · 12. 12. 2009 17:03

↑ leník 5:
Vycházím z obrázku. Svítící bod B, pod ním osvětlená koule se středem S. Z B vedu tečnu ke kouli - označím X. Trojúhelník SXB je pravoúhlý s prav úhlem X. Výška z bodu X je pata kolmmice na SB - označím P. Osvětlenou částí koule není kužel, ale kulový vrchlík. Jeho povrch se vypočítá $S=2\pi rv$ , kde r je poloměr koule a v je vzdálenost bodu P od povrchu koule. Z Eukleidovy věty o odvěsně platí, že $|SX|^2=|BS||PS|$ . SX=r, BS=a, PS=x. $r^2=ax$ . $x=\frac{r^2}{a}$ a $v=r-x$ $v=r-\frac{r^2}{a}$

$S=2\pi r(r-\frac{r^2}{a})=S=2\pi r^2(\frac{a-r}{a})$ tady se liším s výsledkem

Poměr: Od povrchu koule $S=4\pi r^2$ odečtu $2\pi r^2(\frac{a-r}{a})$ , výsledkem je

$S_n=2\pi r^2(\frac{a+r}{a})$ Poměr

$\frac{S}{S_n}=\frac{a-r}{a+r}$ tady mám výsledek stejný