Matematické Fórum

MWagusak

"Jsem fanda do matematiky, ale nevenuji se ji natolik, že bych byl "odbornik" vzhledem k věku, jen když mě něco zaujme, tak počítám i dlouhé hodiny než ten výsledek dostanu. A teď k tématu..."

Nevim jestli se to dá nazvat "algoritmus", moc toho o matice a vyjadřování v ní nevím, doufam, že se v tom nestratíte.
Bádal jsem jak získat bez kalkulačky, či tabulek odmocnicu třeba (př.: 5√243 ), chtěl bych vědět jestli je to možné použít v praxi jako efektivní řešení (mě se zdá, že by to mohlo trvat dlouho i kdyby byl napsat nejaky program s timto), nebo jak bych to měl upravit popřípadně jiné řešení, které je v matice dáno a já o něm jen nevím...

Výpočet má několik kroků, (vůbec netušim jak bych to měl správně sepsat, aby to nevypadalo tahle nepřehledně).

Legenda

Code:

y => zadané číslo, číslo vstupní, které chceme odmocnit (z př.:  je to to 243)
x => množina N -to prozatim stačí, X € {N+}; (nepočítám s 0, proto to +), z množiny vybírám čísla postupně
n' => je v př.: 5 (č. odmocniny, víte co myslim...nevim jak se to jmenuje:( )
n'' => pro n'' < n' o jednu, nevim jak to vyjadrit, uvidíte v přikladu
Z' =>  oznaceni vysledku kroku 1
Z'' =>  oznaceni vysledku kroku 2
O => vysledná odmocnina

1. krok 5√243 a v prvním kroku začínáme s X=2; y=243; ( jednicku vynechám, zbytečný krok pro náš příklad)

Code:

243
___     = 121.5   // 121.5 vysledek Z'
  2

V tomto kroku jsem udělal podíl X na Y, následně ověřím v kroku 2 jestli by to mohla být 2, ktrá by byla 5√243...

2.krok x=2;

Code:

2^4 = 16           =>   Z'≠Z'' // jelikož se to nerovná zvolím další číslo z množiny, trojku

Tady jsem udělal x^, protože n''<n' x^4 < x^4; (samozřejmě je i jiná možnost, zvolil jsem tuhle, lepší jsem nevymyslel)

1. krok - znovu opakuji s jiným číslem z množiny N+

Code:

243
___     = 81   // 81 vysledek Z'
  3

2.krok

Code:

3^4 = 81          =>   Z'=Z'' //rovná-li se mi Z' s Z'' získám O=3 => č. 3 je naše pátá odmocnina z 243

Výsledek máme tedy 3. Ale pořád nad tím dumám, že je to strašně složité, dá se to nějak zjednodušit (bez tabulek, kalkulačky), abychom mohli počítat nejen s N ( bez celých-záporných a iracionálních čísel).
Např.: s rozepsáním na papír + v hlavě, odmocnit třeba číslo 38 235

"Tento způsob používám pro MS office Excel jako vzorec (upravený), nenašel jsem tam větší možnost odmocnění, než je √. Proto jsem si taky napsal to, co zde je, raději to ani nazývat nebudu.:) Díky za odpovědi, kritiku, uplně jiné řešení...."
EDIT: (příbuzný to zkoušel pomocí logaritmů, ale to už je lepší volba ty tabulky.:) )

P.S. Ještě jsem nevyšel ZŠ, 8.tř. (poznámka k umístění příspěvku)

MWagusak · 16. 12. 2009 13:59

↑ MWagusak:

Omlouvám se za oživení, mohl by prosimvás někdo poradit. Děkuji:)

martanko · 16. 12. 2009 14:50

prepac ale sa trosku usmievam nad tym ze namiesto znaku $\in$ si pouzil znak pre euro :D

MWagusak · 16. 12. 2009 15:52

↑ martanko:
no, malinkej detail... rád bych aby mi někdo zkušenější reagoval na první post:)...

MWagusak · 16. 12. 2009 17:16

↑ MWagusak:

Promiňte za další oživení tématu, rád bych dostal nějakou odpověď k otázkám... Děkuji mnohokrát když aspoň napíšete jestli je to správná cesta atd.. viz nahoře. Vrtá mi to hodně hlavou, ale nejsem zkušený matematik...

MWagusak · 16. 12. 2009 22:17

↑ MWagusak:

Už je mi to dost trapné oživovat, mohl byste mě někdo kontaktovat nebo pomoci. Děkuji, vždyť nechci nic vyřešit za sebe jen zjistit zda-li je v pořádku.

FailED · 16. 12. 2009 22:39 — Editoval FailED (16. 12. 2009 22:55)

↑ MWagusak:
Samozřejmě to funguje :) Stejně jak tam testuješ 2^4, 3^4 tak bys tam mohl testovat rovnou páté mocniny.
Co se týče celých čísel, když hledáš třeba pátou odmocninu z 243, můžeš ti pomoct poslední cifra, pátá mocnina celého čísla končí v desítkové soustavě na 3 jedině když to číslo končí na 3, dál víš že 13^5 je víc než 10^5=100 000 takže to musí být 3.

A když to chceš rozšířit na necelá čísla, existují algoritmy pro hledání přibližného řešení, (odmocniny jsou často iracionální čísla) ale to není nic co bys chtěl počítat ručně. A navíc to není nic pro žáka osmé třídy. Jestli tě to opravdu zajímá, nebo se chceš jen dozvědět jak to funguje, zkus hledat např. aproximace nebo numerické řešení. Tu pátou odmocninu bys musel zadat třeba jako funkci $y=\sqrt[5]{x}-243$ a hledat po které(á) x je y rovno 0.

Možná existují pro odmocňování i efektivnější algoritmy, takové neznám, ale rád se přiučím :).

MWagusak · 17. 12. 2009 14:55

↑ FailED:

Moc děkuji. Dost mi to pomohlo, už jsem aspoň o něco moudřejší. Budu experimentovat s těmi funkcemi. Zdá se mi to i snažší.
Hezkej den.:)

Olin · 17. 12. 2009 15:10

Třeba pro druhou odmocninu je jeden takový hezký snadno pochopitelný postup. Chceme třeba odmocnit číslo 111. Tipneme si, že by ta odmocnina mohla být zhruba 10. Vypočteme
$\frac 12 $ 10 + \frac{111}{10} $ = \frac{211}{20}$
což je nový, přesnější odhad, než byl ten první (10). Pokračujeme zase stejně:
$\frac 12 $ \frac{211}{20} + \frac{111}{\frac{211}{20}} $ = \frac{88921}{8440} \approx 10,535664$
$\sqrt{111} \approx 10,535654$
takže už máme hodně dobrý odhad (při zaokrouhlení na 6 platných číslic stejné)… Takto můžeme pořád opakovat a vždy dostaneme lepší odhad odmocniny.

Podobný, ale složitější postup se dá sestrojit pro libovolnou odmocninu.

Pavel · 18. 12. 2009 12:56

Pro přibližný výpočet $k$ -té odmocniny z čísla $a$ lze použít vzorec

$x_{n+1}=\frac 1k\,\left((k-1)x_n+\frac a{x_n^{k-1}}\right),$

kde $a$ je číslo, které chceme odmocnit, $k$ je řád odmocniny a $x_1$ je startovací hodnota, nejlépe nějaký, třeba i hrubý, odhad hledané domocniny. Tak dostaneme číslo $x_2$ , které bude lepším odhadem hledané odmocniny než $x_1$ . Vzorec je možné použít znovu na tento výsledek $x_2$ a dostat ještě přesnější odhad $x_3$ . A tak můžeš odhad dále zlepšovat.