Matematické Fórum

martanko · 19. 12. 2009 17:30

neviete nahodou ako je definovany logaritmus komplexneho cisla?? kamarat sa ma na to pytal a ostal som zaskoceny lebo som o tom nikdy nepocul

Pavel Brožek

Logaritmus je definovaný jako inverzní funkce k exponenciele. Protože ale exponenciela komplexního čísla není prostá funkce, musíme se omezit na určitou podmnožinu komplexních čísel, např komplexní čísla, jejichž imaginární část je z intervalu $(-\pi,\pi]$ . Máme tedy prostou funkci

$y=e^{x}$

na množině $\{x\in\mathbb{C};\textrm{Im} x\in(-\pi,\pi]\}$ . Protože číslo y můžeme zapsat obecně v goniometrickém tvaru (je nenulové) $y=|y| e^{i\textrm{Arg} y}=e^{\ln |y|}\cdot e^{i\textrm{Arg} y}=e^{\ln |y| +i\textrm{Arg} y}$ ( $\ln$ je přirozený logaritmus definovaný na reálných číslech a $e^a\cdot e^b=e^{a+b}$ plyne z definice exponenciely) a exponeniela je prostá funkce na naší množině, dostáváme tak

$x=\ln |y| +i\textrm{Arg} y$

A tuhle inverzní funkci tedy nazýváme komplexním logaritmem

$\textrm{Ln} y=\ln|y|+i\textrm{Arg} y$ .

Pokud jsem se dopustil nějaké nepřesnoti či chyby, opravte mne prosím.

Pozn.: Argument komplexního čísla beru definovaný tak, že je z intervalu $(-\pi,\pi]$ .

martanko · 19. 12. 2009 18:06

↑ BrozekP:
vdaka, mozes mi prosim este napisat co znamena Arg, Im, a Ln?

halogan

↑ martanko:

Im si můžeš domyslet, protože je to řečeno ve větě před vzorcem. Je to imaginární část komplexního čísla. Arg jeargument.

Pavel Brožek

↑ martanko:

Ln jsem zde označil tu funkci, kterou definujeme - logaritmus komplexního čísla. Často se logaritmus komplexního čísla značí také Log, vždy jde ale o logaritmus se základem e. To, že je na začátku velké písmeno, znamená, že jde o hlavní hodnotu logaritmu. Ta má právě ten interval $(-\pi,\pi]$ . Logaritmus se dá definovat i pro jiný interval. Obvykle se definuje tak jak je v konkrétním případě zrovna potřeba.

Pro více informací bude asi lepší si o tom něco přečíst na wikipedii - http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm.

Matematické Fórum

#1 19. 12. 2009 17:30

logaritmus komplexneho cisla

#2 19. 12. 2009 17:50 — Editoval BrozekP (19. 12. 2009 17:52)

Re: logaritmus komplexneho cisla

#3 19. 12. 2009 18:06

Re: logaritmus komplexneho cisla

#4 19. 12. 2009 19:16 — Editoval halogan (19. 12. 2009 20:16)

Re: logaritmus komplexneho cisla

#5 19. 12. 2009 20:00 — Editoval BrozekP (19. 12. 2009 20:01)

Re: logaritmus komplexneho cisla

Zápatí