Matematické Fórum

Okaz · 02. 02. 2008 02:35

y"-4y'+4y=e^(2x)

Uměl by někdo tohle spočítat? Já teda ne

Lishaak · 02. 02. 2008 08:43

Tak ted nevim jestli mas alespon poneti o tom jak se resi takove diferencialni rovnice. Budu prepokladat ze ano.
Nejprve najdeme fundamentalni system, mame konstantni koeficienty, cili staci najit koreny charakteristickeho polynomu. Ten je jeden a sice cislo 2, tedy fundamentali system je

e^(2x), x*e^(2x)

Nyni hledejme partikularni reseni.
Pouzijeme postup, kteremu se nekdy rika "metoda odhadu". Mame specialni tvar prave strany p(x)e^(ax). Kde p(x) je polynom. V nasem pripade a=2 a p(x) ma stupen nula. Potom existuje q(x) polynom stupne <= p(x), pro ktery plati:

y0 = x^N*q(x)*e^(ax)

kde N je nasobnost korenu "a" charakteristickeho polynomu. Cili pro nas pripad:

y0 = x^2*b*e^(2x) = x^2*e^(2x)

Kde b je konstanta, nebot polynom nulteho stupne je konstanta. Nyni staci dosadit toto y0 za promennou y do puvodni rovnice a spocitat, cemu se rovna b.

Reseni potom vypada takto: 1/2*x^2*e^(2x) + c1*e^(2x) + c2*x*e^(2x) = e^(2x)*(1/2*x^2 + c2*x + c1)

andrew · 02. 02. 2008 09:17 — Editoval andrew (02. 02. 2008 09:18)

2Lishaak : me to reseni vyslo takto
$y(x) = \mathrm{e}^{2x}(\frac{x^2}{2} + c_2x+c_1)$ .

Nemas tam nekde mensi chybku?

Lishaak · 02. 02. 2008 10:43

Opraveno. Dik za upozorneni.

Okaz · 02. 02. 2008 15:24

A nejde to spocitat jeste nejak jinak? protoze tohle mi do hlavy moc nejde, co si tak pamatuju, tak ve skole sme tyhle rovnice upravovali nejak na dy/dx a pak z toho udelali integraly pro x a y, ale tohle je asi jinej typ prikladu a krom toho je tam jeste y'' a to me dost mate

Lishaak · 02. 02. 2008 15:43

Asi mas na mysli diferencialni rovnice se separovanymi promennymi. Ty se resi tim zpusobem co jsi popsal. To jsou ale velmi specialni typy rovnic a tahle do nich zrovna nepatri (mimo jine proto ze je tam to y'').

Ten tvuj priklad je vylozene typickym prikladem na tu metodu odhadu. Pokud existuje rychlejsi reseni, tak ja ho neznam.

jelena · 02. 02. 2008 16:10

http://mathonline.fme.vutbr.cz/Linearni … fault.aspx

zkus se podivat sem - je to docelo prehledne a v resenych prikladech je i hodne podobny priklad jak mas. Hodne zdaru :-)

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2008 02:35

diferencialni rovnice

#2 02. 02. 2008 08:43

Re: diferencialni rovnice

#3 02. 02. 2008 09:17 — Editoval andrew (02. 02. 2008 09:18)

Re: diferencialni rovnice

#4 02. 02. 2008 10:43

Re: diferencialni rovnice

#5 02. 02. 2008 15:24

Re: diferencialni rovnice

#6 02. 02. 2008 15:43

Re: diferencialni rovnice

#7 02. 02. 2008 16:10

Re: diferencialni rovnice

Zápatí