Matematické Fórum

limitky

Ahoj, potřeboval bych pomoct spočítat jednu limitu, zkoušel jsem to přes rozšiřovací vzorce a porád se nějak nemůžu dopočítat k výsledku , který má být -15/6.

http://forum.matweb.cz/upload/1261419838-Bez názvu.jpg

prosím zkopírovat přímo do textového pole prohlížeče , nějak se to neoznačilo celé, asi tou mezerou

FailED · 21. 12. 2009 20:14 — Editoval FailED (21. 12. 2009 20:23)

Zdravím,
tak jsem to nějak zkusil, pod odmocniny jsem doplnil členy jdoucí k 0 abych to mohl odmocnit. Jestli je to špatně, prosím opravit, radši na to moc nespoléhej jestli mně to někdo nepotvrdí.
$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}$\sqrt{n+1}+2\sqrt{n}-3\sqrt{n+2}$$
$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}$\sqrt{n+1+\frac{1}{4n}}+2\sqrt{n}-3\sqrt{n+2+\frac{1}{n}}$=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}$\sqrt{n}+\frac{1}{2\sqrt{n}}+2\sqrt{n}-3(\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}})$= \nl \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}$\frac{2n+1+4n-6n-6}{2\sqrt{n}}$=\frac{-5}{2}$

Marian · 21. 12. 2009 20:22 — Editoval Marian (21. 12. 2009 20:23)

↑ FailED:

Tvůj řádek s matematikou je příliš dlouhý a nedá se přečíst, co jsi napsal. Zalom to dvěmi opačnými lomítky.

Jinak doporučuji transformovat na tvar
$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\cdot\left (\left (\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}\right )+2\left (\sqrt{n}-\sqrt{n+2}\right )\right ).$

Ukáže se, že existují vlastní limity (obě)
$L_1:=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\cdot\left (\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}\right )\qquad\text{i}\qquad L_2:=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\cdot\left (\sqrt{n}-\sqrt{n+2}\right ).$

Vidím, že by mělo vyjít L_1=-1/2 a L_2=-1. Odtud se snadno pomocí algebry limit dopátráš k výsledku -5/2.

FailED · 21. 12. 2009 20:25

↑ Marian:
Takhle stačí? Mně se to vešlo dobře.

limitky · 21. 12. 2009 20:26

failede nejak nechapu jak si to udelal odmocnina z treba 2+2 je 2, ale to neni to same jak odmocnina z 2 + odmocnina z 2

FailED · 21. 12. 2009 20:30 — Editoval FailED (21. 12. 2009 20:31)

↑ limitky:
Využil jsem vzorce $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ nechtělo se mi to znovu přepisovat do TeXu.
Ale znovu, nevím jestli je postup dobře, výsledek je správně.

limitky · 21. 12. 2009 20:48

FailED napsal(a):
↑ limitky:
Využil jsem vzorce $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ nechtělo se mi to znovu přepisovat do TeXu.
Ale znovu, nevím jestli je postup dobře, výsledek je správně.

to nějak pořád nechápu, tam mám jakoby (n+1)^(1/2), to se da taky roznasobit podle toho vzorce jo?

Olin · 21. 12. 2009 20:50 — Editoval Olin (21. 12. 2009 20:50)

Já jsem postupoval takto:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} $ \sqrt{n+1} + 2 \sqrt{n} - 3 \sqrt{n+2} $ = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \[ (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) + 3(\sqrt{n} - \sqrt{n+2}) \]$
Stejně jako u postupu kolegy Mariana se ukáže, že obě naznačené limity existují a jsou vlastní.

FailED · 21. 12. 2009 20:54 — Editoval FailED (21. 12. 2009 20:55)

↑ limitky:

Ne, to nejde. Jak jsem psal, přidal jsem pod tu odmocninu třetí člen jdoucí k 0.
$\sqrt{n+1}$ pod odmocninu jsem přidal $1/4n$ takže z toho
$\sqrt{n+1+\frac{1}{4n}}=\sqrt{$\sqrt{n}+\frac{1}{2\sqrt{n}}$^2}$
Podle toho vzorce $a=\sqrt{n}$ a $b=\frac{1}{2\sqrt{n}}$

limitky · 21. 12. 2009 21:11

ok díky moc všem, ale tohle by me fakt nenapadlo, jako když člověk zná výsledek, tak možná, nemáte někdo nějakj fígl nebo něco, jak přijít na správný výsledek, protože když bych postupoval třeba přes rozšiřovací vzorce atd. , tak matematicky žádnou chybu neudělám a vyjde mi třeba -17n/6, tak to je jako nekonečno krát záporné číslo a to je mínus nekonečno a v písemce bych to třeba odevzdal a měl 4!.

Marian · 22. 12. 2009 10:53

↑ FailED:

Problém je v tom, že (tebou) transformovaný výraz s členem "jdoucím k nule" je násobený členem $\sqrt{n}$ v limitě. To se obecně nevyplácí a taky obecně nefunguje. Tady to prošlo a znova je to doklad o tom, že u limit se i nekorektní algebraickou transformací může obdržet správný výsledek.

halogan · 22. 12. 2009 11:19

↑ limitky:

Zkus, prosím, pro příště používat soubory bez diakritiky a bez mezer. Mělo by se to pak obejít bez problémů.

Děkuji.

Matematické Fórum

#1 21. 12. 2009 19:24 — Editoval limitky (21. 12. 2009 19:26)

limita pro n jedoucí k nekonečnu

#2 21. 12. 2009 20:14 — Editoval FailED (21. 12. 2009 20:23)

Re: limita pro n jedoucí k nekonečnu

#3 21. 12. 2009 20:22 — Editoval Marian (21. 12. 2009 20:23)

Re: limita pro n jedoucí k nekonečnu

#4 21. 12. 2009 20:25

Re: limita pro n jedoucí k nekonečnu

#5 21. 12. 2009 20:26

Re: limita pro n jedoucí k nekonečnu

#6 21. 12. 2009 20:30 — Editoval FailED (21. 12. 2009 20:31)

Re: limita pro n jedoucí k nekonečnu

#7 21. 12. 2009 20:48

Re: limita pro n jedoucí k nekonečnu

FailED napsal(a):

#8 21. 12. 2009 20:50 — Editoval Olin (21. 12. 2009 20:50)

Re: limita pro n jedoucí k nekonečnu

#9 21. 12. 2009 20:54 — Editoval FailED (21. 12. 2009 20:55)

Re: limita pro n jedoucí k nekonečnu

#10 21. 12. 2009 21:11

Re: limita pro n jedoucí k nekonečnu

#11 22. 12. 2009 10:53

Re: limita pro n jedoucí k nekonečnu

#12 22. 12. 2009 11:19

Re: limita pro n jedoucí k nekonečnu

Zápatí