Matematické Fórum

↑ Oberon:
S tělesem pohybujícím se rychlostí světla je zakázáno spojovat inerciální vztažnou soustavu, protože bys dělil ve vzorcích nulou :-). Smíš se jí maximálně limitně přiblížit. Když to uděláš, tak:

1)

I) Prohlásíš sám sebe za pozorovatele, který je v klidu a vidíš, jak se celý vesmír vůči tobě pohybuje rychlostí světla.

II) Díky tomu naměříš, že se vzdálenost mezi startem a cílem zkrátila na nulu (kontrakce délek).

III) Proto zjistíš, že jsi v cíli okamžitě.

IV) Pozorovatel na Zemi vidí, jak ses pohyboval rychlostí světla jeden světelný rok, a naměří, že ti cesta trvala rok.

2)

Protože bylo v okamžiku zpomalování a opětovného zrychlování dále od Země. Nebo to popiš podrobně a řekni, v kterém okamžiku ti to přestává být jasné.

3)

Pokud raketa umí kteroukoliv rychlost, můžeš v ní strávit 10 let a na Zemi mezitím uplyne libovolně dlouhý čas (není zeshora ohraničený). To s tím zrychlením a zpomalováním jsem nepochopil - když zrychluješ/zpomaluješ, hodiny na Zemi běží rychleji, což je něco, co nechceš.

EDIT - už jsem to pochopil. V okamžiku zrychlování od Země se to řídí podle okamžité rychlosti. Jestli je rychlost neomezená, poskytne ti libovolně dlouhý čas už ten pohyb konstantní rychlostí tam a zase zpátky, takže zrychlování nemůže vyjít nijak efektivněji.

↑ Oberon:
V paradoxu dvojčat:

Během letu astronauta od Země pozorovatel na Zemi vidí, že astronautovy hodinky běží pomaleji. Ale astronaut pozoruje, že pomalejší jsou hodinky dvojčete ze Země.

Během zpomalování a zrychlování rakety běží čas astronauta měřený v soustavě Země pomaleji, v soustavě astronauta běží čas Země rychleji.

Během návratu na Zemi astronaut opět naměří hodinky Země pomalejší než svoje a dvojče na Zemi vidí čas astronauta ubíhat zpomaleně oproti tomu svému. Když se znovu setkají a porovnají si hodinky, vychází to tak, že astronaut bude mladší tak, jak to spočítal pozemský pozorovatel, ale to je těžký ukázat bez přislušných vzorců :-)

Trojčata:

Dilatace času během otočení se počítá z potenciálu zdánlivých sil, to jsou síly působící v astronautově soustavě na astronauta. Potenciál se bere vzhledem k Zemi, protože vzhledem k ní počítáš tu dilataci.

Dá se ukázat, že kdyby to nebylo pole zdánlivých sil, ale skutečné gravitační pole, bude dilatace času přesně taková, aby odpovídala rychlosti, kterou těleso dosáhne při pádu z nekonečna do bodu se stejným potenciálnem, jaký naměřil astronaut.

Pak už stačí pochopit, proč časová dilatace závisí na rychlosti tak, jak závisí, ale to je ti asi jasný.

↑ Oberon:
Ano. Potenciál roste se vzdáleností od Země, protože ho vůči Zemi počítáme. Konstantní zrychlení, které měří ve své raketě astronaut během obratu, ti při výpočtu dá tím větší potenciál vůči Zemi, čím dále od té Země jsi.

Ke dvojčatům: méně času než co?

Poslední odstavec:

Zrychlování tvojí rakety urychlí čas na Zemi jenom tehdy, když zrychluješ směrem k Zemi.

Pokud loď umí libovolnou rychlost a libovolné zrychlení, v obou případech můžeš dosáhnout libovolného prodloužení času. Prostě nastavíš takové zrychlení a/nebo rychlost, jaké potřebuješ. Takže je to jedno. Jestli se teda ptáš na tohle.

↑ Oberon:
V soustavě spojené se Zemí tam budeš cca za 50 let 6 měsíců, to je správnej předpoklad. Nezapoměň ale, že pozorovatel na Zemi naměří zhruba sedminásobné zpomalení tvých hodinek, takže uvidí, že zestárneš jen asi o 50.5/7 let = cca 7 let.

Ve tvé vlastní soustavě se vzdálenost díky kontrakci délek zkrátí přibližně na 7 světelných let, takže i ty naměříš, že jsi po cestě zestárl jen asi o 7 let.

Žádný paradox - protože rovnoměrný přimočarý pohyb je sice relativní, ale zrychlení je absolutní, a ty jsi v poslední fázi cesty zpomaloval.

K poslednímu příkladu. Výhodněji pro astronauta vyjde konstantní rychlost.

↑ Oberon:

A pak v okamžiku, kdy začnu zpomalovat pujdou najednou tak rychle, že ty moje předběhnou o 49 let????

Správně!

Příklad astronauta letícího konstantní rychlostí 0.8c půl roku pozemského času tam a půl roku zpátky.



Ze zadání vidíš, že poměr

Dosadíme zpátky do vzorečku:



Na Zemi uběhl rok, v raketě jenom tři pětiny roku.

A takhle to vypadá, když astronaut 1 rok pozemského času rovnoměrně přímočaře zrychluje z nuly na 80% rychlosti světla tak, aby v kabině rakety bylo konstantní zrychlení:


je čas astronauta, čas Země



Ze zadání víme, že , a tak to zkrátíme:



Dál, že a

Dosadíme:



V raketě uplynulo během prvního roku pozemského času cca devět desetin roku. To je více, než za celou cestu konstantní rychlostí v prvním příkladu. Druhou půlku cesty, zpomalování, už nemá smysl počítat, protože během zpomalování poběží čas na Zemi rychleji než v raketě, takže to celkovym výsledkem nezamíchá.

Jestli tě zajímá knížka o speciální teorii relativity na úrovni střední školy, zkus Fyzika PRO GYMNÁZIA - Speciální teorie relativity z nakladatelství Prometheus

↑ Oberon:
Nemáš zač. Posílat zprávy, které dorazí okamžitě, je zakázané, protože by to narušilo kauzalitu. Ale můžeš poslat zprávu např. rádiovými vlnami. V tom případě je rozdíl mezi tím, jestli budeš jednou týdně pozemského času vysílat signál, nebo jestli budeš vysílat signál tak, aby dorazil na Zemi v týdenních intervalech pozemského času. Kterou z těch dvou možností jsi myslel?

↑ Oberon:
Sorry, to pořád není jednoznačný. Pochopil jsem, že to naaranžuješ tak, aby
1)přestaneš skákat
a
2)na Zemi je 13:10
Byla dvojice současných události. Ale ještě musíš upřesnit, jestli v tom experimentu mají být současné v soustavě Země, anebo ve tvojí soustavě. Takže?

↑ Oberon:
Současnost nesoumístných událostí je relativní. Dejme tomu, že začneš skákat a na Zemi je 13:00 jsou současné události v soustavě Země. Totéž s událostmi přestaneš skákat a na Zemi je 13:10. V tom případě budeš skákat kratší dobu než 10 minut svého času. Není to nic proti ničemu - ty pozoruješ, že jsi začal skákat před 13:00 pozemského času a skončil před 13:10 pozemského času, kde . Časový rozdíl vznikne díky tomu, že světlo musí ve tvé soustavě překonat delší vzdálenost než v soustavě Země.

Nebo jsou začneš skákat a na Zemi je 13:00 současné události ve tvojí soustavě. Pak budeš ve své vlastní soustavě skákat déle než 10 minut svého času a pozorovatel na Zemi uvidí, že jsi začal skákat po 13:00 jeho času a skončil po 13:10, znovu díky relativitě současnosti nesoumístných událostí.

EDIT: upřesnil jsem to

↑ Oberon:
Když se budeš přibližovat rovnoměrně přímočaře, tak v tvé soustavě bude čas Země běžet pomaleji než tvůj a v soustavě Země bude tvůj čas běžet pomaleji než jejich. Přijde na to, ze které soustavy to pozorujeme.

↑ Oberon:
Ano, za předpokladu, že jsme v soustavě spjaté s raketou.

↑ Oberon:

zdůvodňuji si to tím, že moje činy se budou těm na planetě jevit jako zpomalené v důsledku nárustu dráhy, kterou musí světlo urazit, který je způsobený rychlostí, kterou se pohybuju

Nejen tím, ale i dilatací času.

Pokud absolvuji z planety zpětnou cestu totožnou rychlostí

Eeeh? O_o Napiš to jasněji.

↑ Oberon:
Ah, jasně. Nebudou se jim jevit zrychlené, ale zpomalené, protože oni jsou ve své soustavě v klidu a ty se vůči nim pohybuješ.

To, co uvidíš ty, bude, jak letíš od Země a během tvé cesty pozemšťané stárnou pomaleji než ty, protože ty jsi ve své soustavě v klidu a pohybuje se Země. Na zpáteční cestě budou taky stárnout pomaleji. Ale v okamžiku, kdy ses otočil na zpáteční cestu, jejich hodinky poskočily do budoucnosti tak, abys byl mladší ty, až se vrátíš na Zemi.