Matematické Fórum

Lancer · 24. 12. 2009 17:56

Tri bagre A, B, C mali vykopať veľkú jamu. Najprv kopal stroj A toľko hodín, koľko by trvalo spoločne strojom B, C, aby vykopali polovicu tejto jamy. Potom kopal stroj B toľko hodín, koľko by trvalo spoločne strojom A, C, aby vykopali polovicu tejto jamy. Nakoniec kopal stroj C toľko hodín, koľko by trvalo spoločne strojom A, B, aby vykopali polovicu tejto jamy. Takto vykopali celú jamu. Koľkokrát rýchlejšie by ju vykopali, keby pracovali spoločne a nie po jednom?

Pokúšal som sa ju vyriešiť pomocou rovníc, ale k ničomu normálnemu som nedospel.

Slovenčina snáď nevadí.

jelena · 24. 12. 2009 23:45 — Editoval jelena (24. 12. 2009 23:48)

↑ Lancer:

Zdravím,

označím výkony jednotlivých bagru jako:
a – práce odvede za hodinu 1. bagr
b – práce odvede za hodinu 2. bagr
c – práce odvede za hodinu 3. bagr.

Dle zadání 1. bagr pracoval nějakou dobu x, za stejnou dobu dokažou druhý a třetí bagr odvést polovinu celé práce, proto:
$(b+c)x=\frac{1}{2}$

Obdobne plati:

$(a+c)y=\frac{1}{2}$
$(a+b)z=\frac{1}{2}$

Secteme leve strany rovnic a pravés trany rovnic:

$(b+c)x+(a+c)y +(a+b)z =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ (1)

Pokud by pracoval každy samostatne po dobu dle zadání (postupně na sebe navazuji), tak celá prace bude hotová: $ax+by+cz=1$
Pokud by pracovali spolu po spolecnou dobu d, platí $(a+b+c)d=1$

Teď provedu takové úpravy:

prictu k rovnici (1) nalevo a napravo to, co je v rámečku: $(b+c)x+(a+c)y +(a+b)z +\boxed{ax+by+cz} =\frac{3}{2}+\boxed{1}$ , po uprave
$(a+b+c)x+(a+b+c)y +(a+b+c)z =\frac{5}{2}$

$(a+b+c)(x+y+z) =\frac{5}{2} \cdot 1$ nahrazuji $(a+b+c)d=1$

$(a+b+c)(x+y+z) =\frac{5}{2} \cdot (a+b+c)d$ , delim levou a pravou (a+b+c) (predpokladam, ze neni nulovy)

$(x+y+z) =\frac{5}{2}\cdot d$ , odsud zjistim pomer doby $\frac{d}{x+y+z}$

Určitě existuje i nějaké hezčí řešení a také doufám, že jsem neprovedla žádný nepovolený krok. Děkuji za případné napomenutí.

Slovenčina nevadí ani trochu, ale zajimavá doba pro řešení slovních úloh :-)

....

check_drummer · 25. 12. 2009 10:45

↑ Lancer:

Pokud je jáma malá, tak by se jim současně hrabalo jen velmi obtížně. :-)

(Jeden kopáč vykope studnu za hodinu, druhý kopáč za hodinu a půl. Za jak dlouho vykopou studnu společně? :-)

jelena · 25. 12. 2009 11:41

↑ check_drummer:

Řekla bych, že na velikosti jamy nezáleži - 3 velké bagry budou kopat velkou jamu, 3 malé bagry- malou jamu nebo se mohou kombinovat - otázka byla na "Koľkokrát rýchlejšie by ju vykopali, keby pracovali spoločne a nie po jednom?"

A když už mám přiležitost pohovořit s odbornikem na bagry - v samotném postupu mám nějaký nesmysl? Děkuji a zdravím :-)

Lancer · 25. 12. 2009 14:02

↑ jelena:
Geniálne :))

jelena · 25. 12. 2009 14:29

↑ Lancer: já bych si moc nefandila, ale ještě bych počkala na názor kolegy ↑ check_drummer: - umí řešit "Zajímavé příklady a úlohy", je možné, že má hezčí nápad.

check_drummer · 25. 12. 2009 16:16

↑ jelena:

Měl jsem na mysli principielní možnost realizace - zda je vůbec možné, aby 3 bagry při hloubení jámy pracovaly současně? Díky tomu jsem upozornil na úlohu s dvěma kopáči studny, kteří se také dva do studny nevejdou. :-)

jelena · 26. 12. 2009 01:15

↑ check_drummer: :-) však bagry nejsou ve velké jamě, ale venku okolo - tedy při správném řízení a když jim to vhodně nataktujeme na 3 doby...

Matematické Fórum

#1 24. 12. 2009 17:56

Slovná úloha

#2 24. 12. 2009 23:45 — Editoval jelena (24. 12. 2009 23:48)

Re: Slovná úloha

#3 25. 12. 2009 10:45

Re: Slovná úloha

#4 25. 12. 2009 11:41

Re: Slovná úloha

#5 25. 12. 2009 14:02

Re: Slovná úloha

#6 25. 12. 2009 14:29

Re: Slovná úloha

#7 25. 12. 2009 16:16

Re: Slovná úloha

#8 26. 12. 2009 01:15

Re: Slovná úloha

Zápatí