Matematické Fórum

byk7 · 20. 11. 2009 15:42

Řešte pomocí matice soustavu rovnic:

$x+1=y$
$x+z=2y-3$
$\frac{(y+2)}{(z+2)}=\frac{16}{15}$

Zvládl bych to vyřešit bez matice, ale s maticí?

Wotton · 20. 11. 2009 15:46

A co ti na tom konkrétně nejde? Sestavit matici, nebo ji pak pouzit?

byk7 · 20. 11. 2009 15:46 — Editoval byk7 (20. 11. 2009 15:46)

Sestavit matici. Zjistit determinant není tak těžké.

Tychi · 20. 11. 2009 15:53

↑ byk7:Musíš soustavu upravit tak, aby na jedné straně byly neznámé a na druhé konstanty.

byk7 · 20. 11. 2009 15:59 — Editoval byk7 (20. 11. 2009 16:11)

↑ Tychi:

EdiT:

$x-y+0z=-1$
$x-2y+z=-3$
$0x+15y-16z=2$

A teď?

Tychi · 20. 11. 2009 16:00 — Editoval Tychi (20. 11. 2009 16:02)

↑ byk7:Teď bude první řádek matice vypadat takhle: (1,-1,0|-1).
První pozice je konstanta u x, druhá u y, třetí u z, za | je pravá strana rovnice.

Jen tu soustavu nemáš přepsanou úplně správně..v první rovnici ti uteklo mínus na pravé straně. Je dobré mít tu soustavu přepsanou tak, aby tam byly neznámé ve všech ve stejném pořadí, tedy x, y, z.

Wotton · 20. 11. 2009 16:05

Fajn, tak prvni rovnici si uprav takhle: $x+1=y\nl x-y=-1\nl 1x+(-1)y+0z=-1$
druhou takhle: $x+z=2y-3\nl x-2y+z=-3\nl 1x+(-2)y+1z=-3$
třetí takhle: $\frac{(y+2)}{(z+2)}=\frac{16}{15}\nl 15(y+2)=16(z+2)\nl 15y+30=16z+32\nl 15y-16z=2\nl 0x+15z+(-16)z=2$

Takže matice bude vypadat takhle: $\left (\matrix{1 & -1 & 0\nl 1 & -2 & 1\nl 0 & 15 & -16}\left |\matrix{-1\nl -3\nl 2}\right)$

byk7 · 20. 11. 2009 16:18

Díky, pak to dopočítám, a popřípadě doplním.

byk7 · 25. 12. 2009 15:59

I když je to nějaký čas:

Vypočítám hlavní determinant:
$|A|=\left |\matrix{1 & -1 & 0\nl 1 & -2 & 1\nl 0 & 15 & -16}\right|=1$

Vypočítám subdeterminanty:
$|A_1|=\left|\matrix{1 & -1 & -1\nl 1 & -2 & -3\nl 0 & 15 & 2}\right|=28$
$|A_2|=\left|\matrix{1 & 0 & -1\nl 1 & 1 & -3\nl 0 & -16 & 2}\right|=-30$
$|A_3|=\left|\matrix{-1 & 0 & -1\nl -2 & 1 & -3\nl 15 & -16 & 2}\right|=29$

Proč $|A_2|$ vychází -30 ?

halogan · 25. 12. 2009 16:27

↑ byk7:

Protože 18 - 48 je -30.

LukasM · 25. 12. 2009 17:58

↑ byk7:
Ahoj. V tom použití Cramerova pravidla máš nějakej zmatek. Používá se to tak, že když chci vypočítat dejme tomu x, tak místo prvního sloupce té matice soustavy (x odpovídá prvnímu sloupci) napíšu sloupec pravé strany a vypočítám determinant. Po vydělení determanantem té původní matice dostanu hodnotu x.
To ale není to co tam provádíš ty. Ty sice místo toho příslušného sloupce ten sloupec pravých stran napíšeš, ale potom z nějakého důvodu přeházíš sloupce tak, že ty pravé strany jsou v matici úplně na pravém kraji. Proto ti hodnota A2 (což je y) vyšla s opačným znaménkem (přehození dvou sloupců změní znaménko determinantu). Hodnota x (A3) je správně, protože tam jsi přehodil sloupce 2x, takže se to zrušilo. Jediná hodnota A1 (z) je vypočítaná správně (i s postupem).

Ještě se zeptám.. co všichni mají na Cramerově pravidlu? Vypočítat to Gaussovou eliminací je v tomhle případě otázka jedné úpravy matice, a není potřeba počítat žádné determinanty.

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2009 15:42

Soustava tří lineárních rovnic

#2 20. 11. 2009 15:46

Re: Soustava tří lineárních rovnic

#3 20. 11. 2009 15:46 — Editoval byk7 (20. 11. 2009 15:46)

Re: Soustava tří lineárních rovnic

#4 20. 11. 2009 15:53

Re: Soustava tří lineárních rovnic

#5 20. 11. 2009 15:59 — Editoval byk7 (20. 11. 2009 16:11)

Re: Soustava tří lineárních rovnic

#6 20. 11. 2009 16:00 — Editoval Tychi (20. 11. 2009 16:02)

Re: Soustava tří lineárních rovnic

#7 20. 11. 2009 16:05

Re: Soustava tří lineárních rovnic

#8 20. 11. 2009 16:18

Re: Soustava tří lineárních rovnic

#9 25. 12. 2009 15:59

Re: Soustava tří lineárních rovnic

#10 25. 12. 2009 16:27

Re: Soustava tří lineárních rovnic

#11 25. 12. 2009 17:58

Re: Soustava tří lineárních rovnic

Zápatí