Matematické Fórum

Ivana · 08. 12. 2009 21:37

Dobrý večer na foru :-)

Prosím o kontrolu příkladu řešení $k=-1$ , ale to q ? si nejsem jista , podle výsledku by mělo vyjít q=0 .

Jde mi o konec příkladu a to.... +nekonečno/- nekonečno .. je to 0 ?

Děkuji za odpovědi . :-)

Ivana · 08. 12. 2009 21:46

Asi to moje škrábání není tak čitelné , tady je zadání
$f(x)=\frac{4+x^3}{4-x^2}$ , kde $k=-1$ a $x=+2$ $x=-2$

lukaszh · 08. 12. 2009 23:41

↑ Ivana:
Chyba v prepise zadania je v druhom riadku $\frac{4+x^3}{4-\boxed{x}}$ , výsledok je ale správny. Zvyšok si v podstate zrátala.
$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{4}{x^2}+\frac{4}{x}}{\frac{4}{x^2}-1}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{4}{x^2}+\frac{4}{x}\right)\left(\frac{1}{\frac{4}{x^2}-1}\right)=0$
Z pravidiel o počítaní limít platí, že ak f je ohraničená a g konverguje k nule, tak
$\lim_{x\to a}f(x)g(x)=0$
čo je tvoj prípad. Druhú zátvorku možno na nejakom okolí ohraničiť $x\in\mathcal{O}(\infty)\,:\;-1-\varepsilon\,<\,\frac{1}{\frac{4}{x^2}-1}\,<\,-1+\varepsilon$ . Druhá funkcia konverguje k nule. Teda celková limita je 0.

Ivana · 09. 12. 2009 07:10

↑ lukaszh: :-)

Děkuji :-)

(... v tom druhém řádku jsem při přepisování zapomněla nad $x$ napsat dvojku) .

Marian · 09. 12. 2009 07:55

↑ lukaszh:

Doporučuji být příště ještě přesnější.

Především nepíšeš, co to je $\varepsilon$ . Navíc souvisí jeho hodnota s volbou $x$ . A je zapotřebí upřesnit také, jestli myslíš $+\infty$ nebo $-\infty$ . V případě limit funkce v nevlastních bodech je zapotřebí v obecném případě toto rozlišit. Neumím si totiž příliš dobře představit okolí bodu(ů) $\mathcal{O}( \infty )$ , byť je to zřejmé.

Poznámku nepíšu proto, abych ti naložil kritiku. Vím, že u tebe toto nehrozí, ab sis ji špatně vysvětloval.

Ivana · 09. 12. 2009 21:17

Prosím o kontrolu postupu a výpočtu ,
nemá být ten graf jen v tom třetím kvadrantu ?

Za odpovědˇ děkuji :-)

jelena · 09. 12. 2009 21:54

↑ Ivana:

Ivano, zdravím srdečně - pěkná předvánoční aktivita, pozdravuji u vás :-)

x=-1 (bod nespojitosti), v pořádku, limita zleva a zprava u bodu nespojitosti také v pořádku.

Když počítaš asymptotu k +oo, tak ve výrazu (e^x)/(x^2+x) máš "nekonečno/nekonečno", proto používaš l´Hospital. až do (e^x)/2. Pro +oo nenajdeme žádné k, graf funkce odchází do nekonečna.

Když počítaš asymptotu k -oo, tak ve výrazu (e^x)/(x^2+x) máš "0/nekonečno", pro -oo máme k=0, q=0. Asymptota pro -oo je y=0, jak máš uvedeno.

Graf máš v pořádku, potvrzeno terefonem z Lážova.

Souhlasí?

Ivana · 09. 12. 2009 22:02

↑ jelena:Jeleno, moc děkuji :-)) a přeji klidné předvánoční "šílenství" . Zdeněk pozdravuje a kouká na fotbal. :-)

lukaszh

↑ Marian:
Každá kritika je na niečo dobrá. Vychádzal som predovšetkým z konvencie označení. Mnohokrát v rýchlosti bližšie nedefinujem čo to je $\varepsilon$ , pretože u mňa to je Pavlovov reflex, že epsilon je maličké kladné číslo. I keď teraz by som mohol byť opäť poopravený, že v matematike nepoznáme pojem "maličké" :-) Nesiahajme preto po konvečných epsilon. Ďalší z radu mojich reflexov je, že pred kladné číslo nedávam plus. Samozrejme, že pri symbole nekonečna je to viacmenej na škodu veci. Ospravedlňujem sa za túto pohnútku, ale keď budú aj ostatní kolegovia vidieť v mojom príspevku $\infty$ , tak tým myslím $+\infty$ .

(1) nech $L\,>\,2$ a definujem okolie $\mathcal{O}(+\infty)=(L\,;\,+\infty)$ . Potom

$x\in\mathcal{O}(+\infty)\;\Rightarrow\;-1-\frac{4}{L^2-4}\,<\,\frac{1}{\frac{4}{x^2}-1}\,<\,-1$

V absolútnej hodnote teda

$\left|\frac{1}{\frac{4}{x^2}-1}\right|\,<\,1+\frac{4}{L^2-4}$

(2) Ohraničenosť je splnená. Upresnenie ešte patrí pre bod $a$ z vety. $a\in\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ .