Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 03. 02. 2008 12:24
Polynomy
Potrebuju helpnout s polynomy repektive se soucinem korenu polyomu a rozkladem na soucin ireducibilnich realnych polynomu
Priklad1:
Najdete vsechny koreny nasledujicich polynomu a urcete jejich nasobnosti, polynomy rozlozte na soucin korenovych polynomu:
Priklad2:
Najdete vsechny koreny nasledujicich polynomu a urcete jejich nasobnosti, polynomy rozlozte na soucin ireducibilnich realnych polynomu:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
staci me jak se resi ten rozklad kdyz uz mam spocitane koreny, resp. jak by vypadal rozklad u tochto prikladu na korenovy polynomy a realny ireducibilni?
predem diky
Offline
#2 03. 02. 2008 12:58
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4247
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: Polynomy
Rozklad na kořenové polynomy je ve tvaru a(x-k1)(x-k2)...(x-kn), kde k1 až kn jsou kořeny polynomu a a je koeficient u člene s největším stupněm. Přitom pr každý kořen je jemu odpovídající závorka v součinu tolikrát, jaká je jeho násobnost.
Rozklad na ireducibilní reálné polynomy z něj získáme tak, že z činitelů (x-z) a (x-z'), kde z a z' jsou komplexně sdružená čísla, uděláme jeden činitel (x-z)*(x-z')=x^2-(z+z')x+zz'.
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline
#5 05. 02. 2008 16:50
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4247
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: Polynomy
No ve druhém příkladě jsou všecky kořeny reálné, takže tam ty ireducibilní reálné polynomy vyjdou stejně jako kořenové činitele.
Pokud je v prvním příkladu překlep a místo 14x-9x^2 má být 14x^2-9x, pak má i tento polynom reálné kořeny.
(bez překlepu tento příklad vede na Cardanovy vzorce, o čemž asi nemá cenu se bavit, nebo ano?)
Asi bych měl proto najít příklad, u nějž rozklad na ireducibilní reálné polynomy vychází jinak než rozklad na kořenové činitele. Takovým polynomem je třeba
x^4+4.
Umíme ho rozložit na (x^2-2x+2)(x^2+2x+2). Přitom x^2-2x+2 je ireducibilní reálný polynom (má pouze komplexní kořeny), stejně tak x^2-2x+2.
Jak takový rozklad najít? Např. tak, že x^4+4 rozložíme na kořenové činitele jako (x-w1)(x-w2)(x+w1)(x+w2),
kde w1=(1+i)/sqrt(2), w2=(1-i)/sqrt(2). Pak roznásobíme činitele odpovídající komplexně sdruženým kořenům:
(x-w1)(x-w2)=x^2-(w1+w2)x+w1w2=x^2-2x+2
(x+w1)(x+w2)=x^2+(w1+w2)x+w1w2=x^2+2x+2
Jen doplním, že ireducibilní reálný polynom je vždy buď lineární polynom nebo kvadratický polynom se záporným diskriminantem.
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline