Matematické Fórum

pzag · 30. 12. 2009 23:19

Ahoj, potřeboval bych pomoct vypočítat neurčitý integrál $x^2sqrt{4-x^2}$ . Zkoušel jsem per partes, že zintegruju x^2 a zderivuju $sqrt{4-x^2}$ ale tam potom nemůžu spočítat ten integrál. Ten jsem zkoušel pomocí per partes ještě jednou, ale zas mi to nejde.

Tychi · 30. 12. 2009 23:25

substituci vyzkoušels?
a stroje nenapověděly?

pzag · 30. 12. 2009 23:51

Stroje nic co by mi pomhlo a substituce mi taky nejak nejde.

Tychi · 30. 12. 2009 23:56

tak ukaž, kam se dostaneš, co ti vychází. Chyba se najde jednodušeji než sem vypisovat příklad..

pzag · 31. 12. 2009 00:17

Zkoušel jsem per partes na
u'= $x^2$ ... u = $(x^3)/3$
v = $sqrt{4-x^2}$ ... v' = $-x/sqrt{4-x^2}$

a pak

$\frac {x^3}{3}sqrt{4-x^2} - \int \frac {x^4}{3sqrt{4-x^2}}$

a tady skončím u toho integrálu. Ten jsem zkoušel ještě jednou pomocí per partes, ale vyjde mi arcsin v integrálu a dál už nevím.

danka · 31. 12. 2009 00:25 — Editoval danka (31. 12. 2009 08:18)

Takže integrál $\int x^2\sqrt{4-x^2}dx$ . Použiješ substituci $x=2\sin t$ , integrál tedy vypadá: $\int 4(\sin t)^2\sqrt {4-4(\sin t)^2}2\cos t dt$ pod odmocninou vytkneš 4 a hodíš před integrál společně s ostatními čísly. $16\int (\sin t)^2\sqrt {1-\sin t)^2}\cos t dt$ , pod odmocninou z pravidel pro poč.s gon. funkcemi zůstane jen $1-(\sin t)^2 = (\cos t)^2$ , takže: $16\int (\sin t)^2(\cos t)^2 dt$ . Použijeme $2\sin t \cos t=\sin2t$ , vynásobíme teda celý integrál 1/4 a v integrálu 4. A máme: $4\int (\sin2t)^2 dt$ , opět gon.funkce, takže: $4\int \frac{1-\cos 4t}{2}dt$ , rozdělíme na dva zlomky a integrujeme. Výsledek pro t je: $2t-\frac{sin4t}{2}+c, t=\arcsin \frac{x}{2}$

kaja(z_hajovny) · 31. 12. 2009 09:27

pzag napsal(a):
Stroje nic co by mi pomhlo.

jak to? MAW i wolfram alpha to zvladnou i s postupem ...

3 mozne metody, ktere me napadaji:

Code:

x=2*sin(t)
x=2*cos(t)
metoda neurcitych koeficientu (ostrogradski)

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2009 23:19

Neurčitý integrál

#2 30. 12. 2009 23:25

Re: Neurčitý integrál

#3 30. 12. 2009 23:51

Re: Neurčitý integrál

#4 30. 12. 2009 23:56

Re: Neurčitý integrál

#5 31. 12. 2009 00:17

Re: Neurčitý integrál

#6 31. 12. 2009 00:25 — Editoval danka (31. 12. 2009 08:18)

Re: Neurčitý integrál

#7 31. 12. 2009 09:27

Re: Neurčitý integrál

pzag napsal(a):

Code:

Zápatí