Matematické Fórum

kitchima

Uvažujte šachovnicu rozmerov $2^k$ × $2^k$ , bez lavého horného štvorceka. Dokážte
(indukciou), že táto šachovnica sa dá presne pokryt kachlickami
velkosti troch šachovnicových polícok usporiadaných do L.

Vedel by mi niekto pomoct s tymto prikladom? dakujem

Olin · 01. 01. 2010 14:21

Je dobré si uvědomit, co vlastně děláme při indukčním kroku, když z platnosti pro k dokazujeme platnost pro k+1 - vlastně k útvaru, který máme, "přilepíme" tři čtverce $2^k \times 2^k$ .

kitchima · 01. 01. 2010 14:29

↑ Olin:

prepac, nechapem stale ako mam postupovat

Olin · 01. 01. 2010 14:39

Tož když už je dnes ten Nový rok, tak to vyzradím celé - z tohoto obrázku je princip doufám patrný:

kitchima · 01. 01. 2010 14:45

↑ Olin:

:)) Dakujem za obrazok. Ale ja neviem ako ma vyzerat ten indukcny krok. Neviem si to zapisat. Asi sa niekde brzdim :)

Olin · 01. 01. 2010 14:52 — Editoval Olin (01. 01. 2010 14:53)

No ono spíš než nějaký formální matematický zápis je to jen taková obkecávačka - umíme udělat požadovaný útvar o straně $2^k$ . Útvar o straně $2^{k+1}$ vytvoříme tak, že vezmeme čtyři útvary o straně $2^k$ , které podle indukčního předpokladu umíme poskládat, přidáme ještě jednu L-kachličku a všechno to poskládáme jako na obrázku. Požadovaný útvar o straně $2^{k+1}$ je na světě, takže ho taky umíme poskládat.

kitchima · 01. 01. 2010 15:00

↑ Olin:

Aha, ja som sa snazila nejaky zapis z toho vytvorit. Tak dakujem velmi pekne a stastny novy rok prajem :)

kitchima · 01. 01. 2010 16:28

$1 * 3 + 2 * 4 + 3 * 5 + \cdot \cdot \cdot + n (n + 2) = \frac {n(n + 1)(2n + 7)}{6}$

v tomto priklade mam problem s druhym krokom, pre n+1;
nejak mi to stale nevychadza

vyjde mi to takto: $\frac{(n+1)(2n+7)(n^2+3n+1)(n+6)}{6} =\frac{(n+1)(2n+7)(n+6)(n^2+1)}{6}$

vie mi niekto povedat kde tam je chyba? alebo mam napisat cele moje riesenie?
vdaka

jelena · 01. 01. 2010 17:43 — Editoval jelena (01. 01. 2010 17:44)

↑ kitchima:

Zdravím, maš na mýsli, zda platí taková rovnost?

$\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}+(n+1)(n+2+1)=\frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+7)}{6}$

ano, toto platí: $\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}+(n+1)(n+3)=\frac{(n+1)(n+2)(2n+9)}{6}$

Nebo je potřeba překontrolovat něco jiného?

Matematické Fórum

#1 01. 01. 2010 13:40 — Editoval kitchima (01. 01. 2010 13:41)

dokaz indukciou

#2 01. 01. 2010 14:21

Re: dokaz indukciou

#3 01. 01. 2010 14:29

Re: dokaz indukciou

#4 01. 01. 2010 14:39

Re: dokaz indukciou

#5 01. 01. 2010 14:45

Re: dokaz indukciou

#6 01. 01. 2010 14:52 — Editoval Olin (01. 01. 2010 14:53)

Re: dokaz indukciou

#7 01. 01. 2010 15:00

Re: dokaz indukciou

#8 01. 01. 2010 16:28

Re: dokaz indukciou

#9 01. 01. 2010 17:43 — Editoval jelena (01. 01. 2010 17:44)

Re: dokaz indukciou

Zápatí