Matematické Fórum

zaja · 02. 01. 2010 12:29

Zdravim, nevite si nekdo prosim rady s timto prikladem?

Spoctete derivaci (resp. derivaci zleva, zprava) následující funkce ve všech
bodech, kde existuje:
f (x) = sgn (sinx) + sgn (sin2x)

Myslim, ze by se fce mela nejdrive rozdelit na intervaly, kde je <0, >0, =0, ale nevim, jak dal, nemuzu si totiz zvyknout na pocitani s fci signum :)
Dekuju za jakoukoliv radu, jak na to

halogan · 02. 01. 2010 12:36

Uměl(a) by sis tu funkci nakreslit?

Olin · 02. 01. 2010 12:43

Tak funkce je rozhodně periodická s periodou $2 \pi$ . Omezíme se tedy pouze na interval $[0,\, 2\pi]$ .
Je třeba vyšetřit, kde jsou siny kladné, záporné a nulové. Vzhledem k tomu, jak probíhá funkce $\sin(2x)$ , doporučuji si rozdělit zkoumaný interval na následující podmnožiny:
$\{0\},\, $0,\, \frac{\pi}{2}$,\, \{\frac{\pi}{2}\},\, $\frac{\pi}{2},\, \pi $,\, \{ \pi \},\, $\pi,\, \frac{3 \pi}{2} $,\, \{\frac{3 \pi}{2} \},\, $\frac{3 \pi}{2},\, 2\pi $,\, \{2 \pi}$ .
Rozmysli si, proč na daných množinách (hlavně tedy těch intervalech) je funkce konstantní.

zaja · 02. 01. 2010 13:45

Nevim ,jak je to mozne, ale kdyz zderivuji sgn(sinx) napr. na intervalu [0, pi], kde je sinx kladny, tak mi vyjde, ze sgn(sinx) je (sinx/sinx)´ =1´ = 0
A pro sinx zaporne nebo rovno nule, by vyslo touto metodou to samédelam, tak to asi nejak spatne

Olin · 02. 01. 2010 13:54

No ale je to skutečně tak? Vždyť v 0 je sgn(sin 0) = sgn(0) = 0, v pí to samé. Jinde je v tom intervalu sgn(sin x) = 1. Na otevřeném intervalu je skutečně derivace nulová, okrajové body je ale třeba vyšetřit jinak.

Tos · 02. 01. 2010 17:28

Zdravím, nevěděl by si někdo prosím rady s tímto příkladem? - derivace funkce : 1/cos(na šestou)x ?

zaja · 02. 01. 2010 17:29

Aha, diky, takze v bodech, kde je sinx nebo sin2x roven nule bude treba pocitat derivaci jako limitu jdouci do tech bodu zprava a zleva.
Kdyz tedy napr. udelam limitu pro x-> 0 zprava pro sgn(sinx), tak dostanu: lim (x-> 0 zprava) (sgn(sinx))/x = lim sgn1=1
a pro x-> 0 zleva mi vychází to samé, takze derivace sgn(sinx) v bode 0 je 1
pro sgn sin2x limita pro x-> 0 zprava vyjde lim sgn2 = 1, zleva to samé, a tedy derivace sgn sin2x je take 1
celkova derivace v bode nula by teda mela byt 1+1 =2
Tak doufam, ze to takto lze potitat.

Stýv · 02. 01. 2010 17:37

tvůj postup nějak nechápu, každopádně výsledek je špatně. sgn je skoková fce, derivaci má buď 0 nebo nevlastní. u součtu dvou sgn se skoky buď vyruší (a derivace v příslušnym bodě je pak 0), nebo se sečtou, a derivace je opět nevlastní

Olin · 02. 01. 2010 17:37

Pozor. Limita není totéž, co derivace. Je nutné počítat podle definice $f_+'(x) = \lim_{h \to 0_+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ . Rovnou upozorňuji, že derivace budou vycházet nevlastní.

↑ Tos: Založ si prosím vlastní téma.

zaja · 02. 01. 2010 17:53

ja jsem to pocitala podle ekvivalentni definice lim "x ->x_O" (f(x)-f(x_0)/(x- x_0) a neuvedomila jsem si, ze sgnsinx v bode x=0 neni 0, ale nekonecno, jestli to tak je :)

Stýv · 02. 01. 2010 18:00

sgn(sin(0))=0 platí (sgn nikdy není nekonečno), to ale nehraje při počítání limity v 0 žádnou roli. vychází lim (x-> 0+) (sgn(sin(x)))/x = lim 1/x=oo

Olin · 02. 01. 2010 18:00 — Editoval Olin (02. 01. 2010 18:01)

Aha, už to vidím, omlouvám se. Ne, opravdu $\rm{sgn}(0)=0$ , ne nekonečno.

Funkce $f(x)=\rm{sgn}(\sin x)$ je na nějakém okolí nuly rovna funkci
$g(x) = \begin{cases} -1 & \text{pro } x<0\nl 0 & \text{pro } x=0\nl 1 & \text{pro } x>0\nl \end{cases}$ .

Takže
$f_+'(0) = g_+'(0) = \lim_{h \to 0_+} \frac{g(h)-g(0)}{h} = \lim_{h \to 0_+} \frac{1-0}{h} = \infty$

$g(h) = 1$ , protože $h$ volíme z pravého okolí nuly.

Analogicky $f_-'(0) = \infty$ .