Matematické Fórum

pista004 · 02. 01. 2010 20:45

Zdravím,

mám komplexní číslo:
$z = \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}$

a mám vypočítat:
$w = z^{20}$ a $\sqrt[3]{w}$

vypočítal jsem:
$\left|z\right| = sqrt{2}$

$\sin\alpha = \frac{1+sqrt{3}}{2sqrt{2}} = 75^o$

$\cos\alpha = \frac{1-sqrt{3}}{2sqrt{2}} = 105^o$

Problém je v tom, že neumím přijít na ten úhel s kterým mám počítat. Byl bych moc rád kdyby mi někdo zkusil vysvětlit jak na ten úhel příjdu. Nejlepší by byl ten úhel ve tvaru s pí např.: $\frac{\Pi}{4}$

mikee · 02. 01. 2010 21:44

↑ pista004:
Uhol, s ktorym mas pocitat, je 105°.
Tie rovnice mas dobre, ale my potrebujeme najst taky uhol, ktory vyhovuje obom rovniciam. Ked si ale uvedomis, ze z vlastnosti funkcie sinus vyplyva, ze sin 75° = sin 105° (ak si to aj neuvedomis, tak jednoducho si to mozes overit na kalkulacke :)), tak uhol 105° vyhovuje aj rovnici, v ktorej mame sinus.
Je inak velmi vhodne nacrtnut si obrazok jednotkovej kruznice :)

mlcuchj

Pro výpočet toho úhlu použiješ:

$cos\alpha=\frac{1-sqrt{3}}{2sqrt{2}}=\frac12 \frac{sqrt2}2-\frac{\sqrt{3}}2 \frac{sqrt2}2=\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4-\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4=\cos(\frac\pi3+\frac\pi4)=\cos\frac{7\pi}{12}$

stejně to bude platit i pro sinus
už to tu jednou bylo.. :)

pista004 · 02. 01. 2010 22:57

↑ mlcuchj:

nějak nechápu proč je tam cos - sin a jak vyšlo z té závorky jak je tam cos to 7pí/12 ..

Jinak díky za příspěvky.

Saturday · 02. 01. 2010 23:04

↑ pista004:

Koment k mlcuchj pro pista004:

* druhé "rovná se" je jen usměrnění zlomku a rozdělení na dva zlomky.
* třetí "rovná se" je nalezení argumentů sin a cos pro dané hodnoty (tabulkové hodnoty, které je dobré si pamatovat)
* čtvrté "rovná se" použití "součtového vzorce" (http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/k … unkce.html)
* páté "rovná se" jen se v argumentu sečetlo: pi/3 + pi/4 = 7pi/12

pista004 · 02. 01. 2010 23:12

Aha, jsem to ale trouba, už to chápu až na tohle:

Proč když mám tenhle zlomek (to rozšíření chápu ...)
$cos\alpha=\frac{1-sqrt{3}}{2sqrt{2}}$

Tak proč když je to cosinus, tak proč se tam za to mínus dává sinus? To mi nějak nejde do hlavy ...
$\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4-\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4$

Jinak mockrát děkuji.

Saturday · 02. 01. 2010 23:19

$cos\alpha=\frac{1-sqrt{3}}{2sqrt{2}}$ --- "cos alfa" si muzes odmyslet, neni to tam potreba (mlcuchj chtel jen naznacit, ze pocita argument alfa, pokud $cos\alpha=\frac{1-sqrt{3}}{2sqrt{2}}$

add druhy dotaz:

Uvedom si, co jsou argumenty funkce sinus a cosinus a co ne. Pro jistotu jsem ti to zvyraznil:

$cos\alpha=\frac{1-sqrt{3}}{2sqrt{2}}=\frac12 \frac{sqrt2}2-\frac{\sqrt{3}}2 \frac{sqrt2}2=\cos(\frac\pi3\)cos(\frac\pi4)-\sin(\frac\pi3)\sin(\frac\pi4)=\cos(\frac\pi3+\frac\pi4)=\cos\frac{7\pi}{12}$

Zavorky se casto v tomto pripade nepisou, protoze je jasne, co se tim zapisem, ktery pouzil mlcuchj, mysli.

pista004 · 02. 01. 2010 23:47

↑ Saturday:

Je to na mě asi moc složité. Já prostě nechápu proč se tam používá ten sinus, ten nepočítám samostatně jako ten cosiunus? Vždyť přece pro sinus a cosinus mi vyšlo něco jiného, tak jak to tak nějak dám dohromady?

Díky za trpělivost.

Saturday · 02. 01. 2010 23:58

Sinus pouzivas proto, ze chces pouzit tento vzorec: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/k … souvz3.png

Ale pokud Te to uklidni, tak ten priklad je jednoduchy jen pokud, jsi uz videl podobny a vis o tomhle figlu. Je to neintuitivni.

EDIT: Prosim, pis konkretneji, at je jasne, co myslis. Pokud pouzijes slovo typu "tam", tak budes jediny, kdo presne vi, kde to je.

pista004 · 03. 01. 2010 00:15

Stále se tady bavíme o tomhle:
$cos\alpha=\frac{1-sqrt{3}}{2sqrt{2}}=\frac12 \frac{sqrt2}2-\frac{\sqrt{3}}2 \frac{sqrt2}2=\cos(\frac\pi3\)cos(\frac\pi4)-\sin(\frac\pi3)\sin(\frac\pi4)=\cos(\frac\pi3+\frac\pi4)=\cos\frac{7\pi}{12}$
a já v tomhle nechápu proč se tam používá sinus, ten sinus tam nechápu:
$\cos(\frac\pi3\)cos(\frac\pi4)-\sin(\frac\pi3)\sin(\frac\pi4)$

vypočítal jsem:
$\cos\alpha = \frac{1-sqrt{3}}{2sqrt{2}} = 105^o$
a s tímhle cosinusem počítáme a po pár operacích jsme dostali cos cos - sin sin, ale proč tam je ten sin? vím, že to je proto abych dostal ten vzorec, ale já si můžu dovolit tam dát sinus?

Na co jsem potom počítal tento sinus? Kde s ním počítám?:
$\sin\alpha = \frac{1+sqrt{3}}{2sqrt{2}} = 75^o$

Stýv · 03. 01. 2010 00:19

↑ pista004: uvědom si, že $\sin\ 75^\circ=\sin\ 105^\circ$

Saturday · 03. 01. 2010 00:28

pista004 napsal(a):
Stále se tady bavíme o tomhle:
vypočítal jsem:
$\cos\alpha = \frac{1-sqrt{3}}{2sqrt{2}} = 105^o$
a s tímhle cosinusem počítáme a po pár operacích jsme dostali cos cos - sin sin, ale proč tam je ten sin? vím, že to je proto abych dostal ten vzorec, ale já si můžu dovolit tam dát sinus?

$

mlcuchj Ti vypocital, ze cos alfa = 7pi/12 (= 105°), aniz by pouzil kalkulacku. Takze v podstate on nepocita Tvuj priklad, ale to co uz jaksi mas.

Odpoved na Tvou otazku, jaky uhel pouzit uz tu nekolikrat mas: sin 105° = sin 75° (na to si staci nakreslit jednotkovou kruznici)

mikee · 03. 01. 2010 00:49

↑ pista004:
Ja tiez nieco dodam :)
Prva vec vyznie mozno len ako formalna poznamka, ale predsa... Zapis $\sin\alpha = \frac{1+sqrt{3}}{2sqrt{2}} = 75^o$ je z matematickeho hladiska nespravny, pretoze ten uhol 75° sa nerovna tomu sinusu... Spravny zapis by teda mohol byt napriklad: $\sin\alpha = \frac{1+sqrt{3}}{2sqrt{2}} \ \Rightarrow \ \alpha = 75^o$ . Ak by sme ale chceli byt uplne dosledni, tak z tej prvej rovnosti nevyplyva ze alfa sa musi rovnat 75°, dokonca existuje nekonecne vela roznych uhlov alfa, pre ktore dana rovnost plati (my musime najst prave jedno vhodne).
No a druha vec sa tyka prevodu komplexneho cisla z algebraickeho tvaru na tvar goniometricky, pretoze to tu presne potrebujeme urobit. Zatial sme sa spravne dostali do tvaru z = |z| . (a + b.i), kde a,b su nejake hodnoty, ktore dostaneme po vydeleni komplexneho cisla v algebraickom tvare tou absolutnou hodnotou.
No a jedine co teraz potrebujeme spravit je, ze potrebujeme najst taky uhol alfa, pre ktory plati ze zaroven $\cos \alpha = a$ a $\sin \alpha = b$ . Taky uhol alfa je vzdy prave jeden (samozrejme to neplati pre lubovolne hodnoty a,b; ak ale vychadzame z komplexneho cisla tak vzdy taky jeden uhol existuje).
Ty si vlastne vypocital obidve rovnice samostatne, tym ti vysli dva rozne uhly, co je ale nespravne. Skus sa teda vratit do tohto kroku a mozno to pomoze :)

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2010 20:45

Komplexní čísla

#2 02. 01. 2010 21:44

Re: Komplexní čísla

#3 02. 01. 2010 21:51 — Editoval mlcuchj (02. 01. 2010 21:52)

Re: Komplexní čísla

#4 02. 01. 2010 22:57

Re: Komplexní čísla

#5 02. 01. 2010 23:04

Re: Komplexní čísla

#6 02. 01. 2010 23:12

Re: Komplexní čísla

#7 02. 01. 2010 23:19

Re: Komplexní čísla

#8 02. 01. 2010 23:47

Re: Komplexní čísla

#9 02. 01. 2010 23:58

Re: Komplexní čísla

#10 03. 01. 2010 00:15

Re: Komplexní čísla

#11 03. 01. 2010 00:19

Re: Komplexní čísla

#12 03. 01. 2010 00:28

Re: Komplexní čísla

pista004 napsal(a):

#13 03. 01. 2010 00:49

Re: Komplexní čísla

Zápatí