Matematické Fórum

Petuhik

ahoj, potřebovala bych nějaký návod, jak udělat definiční obor u obecného řešení diferenciálních rovnic. rovnice mám všechny spočítané, jen prostě nevím, jak na tohle přijít. Prosím pomožte mi:-(

1. y´+ (y^2) *sin x= 0 , obecné řešení: 1/y = - cos x + C

2. sin x (1+e^-y) dx = (1+cos x ) dy , obecné řešení: ln │(e^y + 1) │+ ln │(cos (x) + 1)│= C

3. xy dx = (y2 –x2) dy , obecné řešení: ¼ * ( y^ 4 - 2x^2y^2 ) = C

4. (x^2 + 1)y´ + 4xy = 1/(x^2+1)^2 , obecné řešení: y(x) = C/ (x^2+1)^2 + arctan x / (x^2+1)^2

5. y´´ + y´ = e^-x , obecné řešení: y(x) = (-x-1)*e^-x + C1*1 +C2 * e^-x

6. y ´´ + 2y´ +y = e^-x* ln x , obecné řešení: 1/4 * e^-x * (2x^2*ln (x) - 3x^2) + C1*e^-x + C2*xe^-x

Mnohokrát děkuji za pomoc:-(

Kondr · 25. 12. 2009 20:35

Stejně jako u definičního oboru funkce -- ve výsledku ve jmenovateli nesmí být nula, argument logaritmu musí být kladný.

Petuhik · 25. 12. 2009 20:38

↑ Kondr:

Aha. děkuji za návod, ale mohl by si mi prosím na ukázku pomoct alespoń s jedním příkladem. Prosím, prosím....

jelena · 26. 12. 2009 11:54

↑ Petuhik:

Zdravím,

pokud máš zájem o kontrolu, napíš, prosím, sem svůj postup (nebo co konkrétně není jasné v doporučení kolegy ↑ Kondr:?).

A ještě, prosím, pokud není úplně tajné - jaký směr VŠ studuješ - že máš takový průřez všeho možného? Děkuji.

Taková poznámka - nebyla jsem si jistá, zda si všehno pamatuji ohledně jednoznačnosti a existence řešení (a zda v těchto zadaních není nějaká záludnost v tomto smyslu - žádnou záludnost jsem nenašla), ale opět jsem našla drobný překlep v Rektorysovi z roku 1973 (do kterého jsem se divala).

Petuhik · 29. 12. 2009 14:24

↑ jelena:
studuji matematiku, ale nechápu, proč nám tam dávají takový věci, když to nikdy potřebovat nebudem. Jinak - tohle jsem nikde nenašla (jak se to počítá) a byla bych moc ráda, kdyby ste mi někdo pomohla alespoň s jednoím příkladem :-(

jelena · 29. 12. 2009 17:48

↑ Petuhik:

Děkuji za vysvětlení i když nepříliš rozumím závěru, že nikdy nebudeš potřebovat to, co studuješ.

O definičním oboru řešení dif. rovnice se obvykle piše úplně na úvod teorie, například zde- stranky od 250, zejména poznámku 15.3 na str. 253.

Například 1)

y´+ (y^2) *sin x= 0, obecné řešení: 1/y = - cos x + C, řešení po úpravě y=-1/(cos x + C), je potřeba stanovit def. obor funkce y(x), která je řešením dif. rovnice. Jelikož v řešení je zlomek, jmenovatel má být nenulový:
$\cos x+C\neq0$ (tento zápis se mi zdá být dostačující), případně upravit na:
$x\neq\arccos(- C)+2k\pi$ , nebo $x\neq\pi(1+2k)-\arccos(C)$ . Může být?

Petuhik · 02. 01. 2010 14:04

↑ jelena:

takže to je vážně jenom o určení podmínek, které jsou dané. A ještě bych už vážně poslední dotaz - k příkladům 1-4 mám diskutovat počáteční podmínky, pro něž je porušena jednoznačnos řešení.

Jak se tohle dělá. Prosím, prosím...:-(

jelena · 02. 01. 2010 16:58

↑ Petuhik:

Odkažu na materiál: věta 7.2.1, bude to stačit pro pochopení a použití?

Petuhik · 02. 01. 2010 17:44

↑ jelena:

:-(právě že vůbec. tohle jde totálně nějak mimo mě.

jelena · 03. 01. 2010 01:00

↑ Petuhik:

1) dif. rovnice: y´+ (y^2) *sin x= 0,
odsud vyjádřím y´=- (y^2) *sin x, pravá strana je funkce f(x, y)=- (y^2) *sin x,

posuzuji:

kde je definována samotna funkce f(x, y) - kde?
kde je definována jeji derivace po dy - deruji funkci f(x,y) po dy dostanu f´=-2y*sinx - kde je definována?

-------------
2) dif. rovnice: sin x (1+e^-y) dx = (1+cos x ) dy, odsud vyjádřím: y´= sin x (1+e^-y)/(1+cos x ),

posuzuji:

kde je definována funkce: f(x, y)=sin x (1+e^-y)/(1+cos x ) - kde?
derivuji po dy: f´= -(sin x*e^-y)/(1+cos x ) - kde je definována derivace?

omluva za úpravu.

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2009 20:00 — Editoval Petuhik (22. 12. 2009 20:00)

definiční obor obecného řešení

#2 25. 12. 2009 20:35

Re: definiční obor obecného řešení

#3 25. 12. 2009 20:38

Re: definiční obor obecného řešení

#4 26. 12. 2009 11:54

Re: definiční obor obecného řešení

#5 29. 12. 2009 14:24

Re: definiční obor obecného řešení

#6 29. 12. 2009 17:48

Re: definiční obor obecného řešení

#7 02. 01. 2010 14:04

Re: definiční obor obecného řešení

#8 02. 01. 2010 16:58

Re: definiční obor obecného řešení

#9 02. 01. 2010 17:44

Re: definiční obor obecného řešení

#10 03. 01. 2010 01:00

Re: definiční obor obecného řešení

Zápatí