Matematické Fórum

dosan · 03. 01. 2010 11:46 — Editoval dosan (03. 01. 2010 11:47)

DObrý den,mám problém s tímto přikladem x^2-6x-12y+57=0 s tečnou v bodě P [4,2].
Tuším,že by to měla být parabola,ale nevím spravný postup,zda upravit na čtverec? a dopočítat tečnu.
Předem Vám děkuji za odpovědi.

Doxxik · 03. 01. 2010 11:48

mohl bys prosím více objasnit otázku? "x^2-6x-12y+57 s tečnou v bodě P [4,2]." = určit křivku? určit tečnu křivky v daném bodě?
Díky

dosan · 03. 01. 2010 12:02 — Editoval dosan (03. 01. 2010 12:02)

↑ Doxxik:

Potřeboval bych zjistit 100% o jakou křivku se jedná a poté dopočitat tečnu ke křivce...

zdenek1 · 03. 01. 2010 12:06

↑ dosan:
Předpokládám, že chceš najít tečnu k parabole, která prochází bodem $P[4;2]$ . Tečnu vyjádříš ve tvaru
$y=k(x-4)+2$ a dosadíš
$x^2-6x-12[k(x-4)+2]+57=0$
Teď to poupravuješ a dostaneš
$x^2-6(2k+1)x+48k+33=0$ To je kvadratická rovnice, jejíž diskriminant musí být nula.
$\frac D4=9(2k+1)^2-48k-33=0$
Zase provedeš nějaké úpravy a dostaneš
$(3k+2)(k-1)=0$
$k_1=1$ , $k_2=-\frac23$

dosan · 03. 01. 2010 12:19

↑ zdenek1:

Mám dotaz,není toto vzorec pro tečnu k hyperbole? Díky

Stýv · 03. 01. 2010 12:43

kde by se tam najednou vzala hyperbola?

dosan · 03. 01. 2010 12:46 — Editoval dosan (03. 01. 2010 13:10)

↑ Stýv:
jak psal zdenek1 , že tečnu vyjádříš ve tvaru y=k(x-4)+2 ,tak se ptám,zda se tento tvar nepoužívá,když chci vypočítat tečnu u hyperboly?
Potřeboval bych vypočítat tečnu k parabole prosím. Pokud se mýlím opravte mě.
Děkuji za Vaše odpovědi.

Luciellka · 03. 01. 2010 15:47

Ahoj, potřebovala bych poradit s touto rovnicí... x2 - 4y2 - 4x - 8y - 1 = 0, napsat druh, všechny vlastnosti, vypočítat rovnici a tečnu v bodě P [0,0] ...

Děkuju moc...

Stýv · 03. 01. 2010 15:50

↑ dosan: y=k(x-4)+2 je rovnice přímky, tedy jakýkoliv tečny

↑ Luciellka: založ vlastní téma

Luciellka · 05. 01. 2010 19:14

Ahoj, prosila bych o pomoc s touto rovnici... Děkuju...

jelena · 05. 01. 2010 21:36 — Editoval jelena (07. 01. 2010 00:01)

↑ Luciellka:

Zdravím, opravdu je lepší zcela nové téma - tak se to zatoulá.

Teorie od paní Řihové(moc dobrá, děkuji autorce).

Je zadáná obecná rovnice kuželosečky, je potřeba převest na takový tvar, aby bylo zřejmě, o kterou kuželosečku jde.

$x^2-4y^2-4x-8y-1=0$ upravím tak, abych našla kvadratické trojčleny a upravila obecnou rovnici na středový tvar (jsou srozumitelné takové úpravy?):

$x^2-4x\boxed{+4}-4y^2-8y\boxed{-4}-1=0$

$(x-2)^2-4(y^2+2y+1)-1=0$

$(x-2)^2-4(y+1)^2=1$

$(x-2)^2-\frac{(y+1)^2}{0.25}=1$ z tohoto zápisu už bys měla odvodit typ kuželosečky a parametry. Tečná je podle teorie, na kterou se odkazuji. Ať se vede.

EDIT: dekuji kolegovi musixx za opravu, vypadla a již opravena 2. mocnina.

musixx · 06. 01. 2010 08:02 — Editoval musixx (06. 01. 2010 08:06)

↑ dosan: Určitě víš, jak se odlišují jednotlivé kuželosečky v tebou uvedených zápisech (tj. přítomny kvadráty x i y se stejným koeficientem --> kružnice (reálná, je-li kladná druhá mocnina poloměru), resp. elipsa pro různé koeficienty se stejným znaménkem (opět reálná či imaginární), resp. hyperbola analogicky, resp. přítomen jen jeden kvadrát --> parabola, resp. nějaké degenerované případy přímek, se kterými se na SŠ nepotkáš, stejně tak jako asi s imaginárními kuželosečkami).

Taky jsi už určitě viděl, jak se "zbavovat" lineárních členů od těch proměnných, kde je k dispozici kvadrát:
$x^2-6x=(x-3)^2-9$ ,
takže pomocí toho je hned vidět, že jde skutečně o parabolu.

Pokud jde o tečnu, tak to je - jak je zde už napsáno - především přímka, no a přímka v rovině procházející bodem $[a,b]$ je tvaru $y-b=k(x-a)$ pro případ, že jde o tzv. přímku se směrnicí, resp. je tvaru $x=a$ pro přímku bez směrnice. V takovýchto tvarech můžeš hledat tečnu k čemukoli v rovině, není třeba se dopředu zajímat o to, jde-li o parabolu či něco jiného.

Postup od ↑ zdenek1: zde funguje dobře proto, že naše parabola má osu rovnoběžnou s osou y, a tedy nehrozí, že by jakákoli její tečna byla přímkou bez směrnice. Ovšem byla-li by osa paraboly jiná, případně jednalo-li by se o jinou kuželosečku, je třeba případ tečny bez směrnice ověřit zvlášť, jde-li se zde ukázanou cestou.

musixx · 06. 01. 2010 08:09 — Editoval musixx (06. 01. 2010 08:12)

↑ Luciellka: Jeleně jen na konci vypadla jedna druhá mocnina: $(x-2)^2-\frac{(y+1)^2}{0.25}=1$ a možná bys vůbec nejraději viděla $\frac{(x-2)^2}{1^2}-\frac{(y+1)^2}{0.5^2}=1$ .

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2010 11:46 — Editoval dosan (03. 01. 2010 11:47)

kuželosečky

#2 03. 01. 2010 11:48

Re: kuželosečky

#3 03. 01. 2010 12:02 — Editoval dosan (03. 01. 2010 12:02)

Re: kuželosečky

#4 03. 01. 2010 12:06

Re: kuželosečky

#5 03. 01. 2010 12:19

Re: kuželosečky

#6 03. 01. 2010 12:43

Re: kuželosečky

#7 03. 01. 2010 12:46 — Editoval dosan (03. 01. 2010 13:10)

Re: kuželosečky

#8 03. 01. 2010 15:47

Re: kuželosečky

#9 03. 01. 2010 15:50

Re: kuželosečky

#10 05. 01. 2010 19:14

Re: kuželosečky

#11 05. 01. 2010 21:36 — Editoval jelena (07. 01. 2010 00:01)

Re: kuželosečky

#12 06. 01. 2010 08:02 — Editoval musixx (06. 01. 2010 08:06)

Re: kuželosečky

#13 06. 01. 2010 08:09 — Editoval musixx (06. 01. 2010 08:12)

Re: kuželosečky

Zápatí